在立體幾何的問題中，關于球的内接幾何體的問題綜合性較為強，需要學生有較好的空間想象能力，此時定會有學生大喊：“臣妾做不到啊！”事實上，很多立體問題必須放在平面中解決，一味的強調空間想象，往往會使問題陷入困境。本文介紹一中立體幾何的解題技巧，名為“雙圓模型”，可在棱錐的外接問題中大展身手！

雙圓模型指在球O中出現兩個截面（圓M和圓N），并且這兩個截面會有一條公共弦。設公共弦的中點為C。

靜态展示

動态展示

由于球心到截面的距離必垂直于截面，即OM⊥圓M，ON⊥圓N。據此構造四邊形OMCN，其中∠M=90°，∠N=90°。在四邊形的平面幾何世界中，運用幾何或三角知識解決問題，從而研究立體幾何的量！

應用1：球的雙截面問題

例1、已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分别截球面得兩個圓。若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ ）

A．1 B．√2 C．√3 D．2

【分析】做出圖形，找到雙圓模型。做出四邊形OMCN，由于此題兩個截面互相垂直，那麼該四邊形是矩形。且矩形的對角線為√3，故圓心距MN為√3。

【答案】C

練習1：已知球的半徑為4，圓與圓為該球的兩個小圓，為圓與圓的公共弦，．若，則兩圓圓心的距離 ．

【答案】3

練習2：已知半徑為5的球被互相垂直的兩個平面所截，得到的兩圓的公共弦長為4，若其中一圓半徑為4，則另一圓的半徑為（ ）

A. √10 B. √11 C . 2√3 D.√13

【答案】D

練習3：已知球的半徑為8，ʘ和ʘ為該球的兩個小圓，為ʘ與ʘ的公共弦.若，則 ( )

A.12 B.8 C.6 D.4

【答案】B

應用2：夾角問題

練習題：

如圖，在四面體ABCD中，△ABD是正三角形，AB⊥BC，AD⊥DC，AC＝2AB，則直線DC與平面ABD所成角的正弦值等于　　．

應用3：求截面面積

已知平面 α截一球面得圓M，過圓心M且與α成 60° 二面角的平面β截該球面得圓N。若該球面的半徑為4，圓M的面積為4π，則圓N的面積為( )

( A) 7π ( B) 9π ( C) 11π ( D) 13π

【分析】本題取圓M與圓N構成的雙圓模型。畫出直觀圖，如圖設點O為球心，則OM⊥α，ON⊥β，且由平面α、β所成二面角為60°，可得∠MON = 60°.由圓 M 的面積為 4π，得其半徑為2，所以OM=2√3。在Rt△ONM中，ON = OMcos 60°=√3，故圓N的半徑為√13，從而其面積為13π。

答案選 D。

應用4：外接球問題

在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA =√3 ，SB = 2√3 ，二面角S－AB－C的大小為120°，則此三棱錐的外接球的表面積為__________

【分析】取△ABC、△SAB 的外接圓為雙圓模型.如圖,設M是邊長為3的等邊△ABC的外接圓圓心，AB的中點為P，則MP =（√3）/2，由AB² SA²= SB²，得△SAB 是以SB為斜邊的直角三角形，其外接圓圓心為SB中點N．由NP = 1/2SA=（√3）/2 = MP，OP 為公共邊，得 Rt△ONP≌Rt△OMP．于是，∠OPN=∠OPM=1/2∠NPM=60°,OP=2NP=√3。

所以，三棱錐的外接球半徑R=OB=（√21）/2，表面積S=4πR²=21π。

練習題1：

已知是球面上的四點，若，二面角的平面角等于，則該球的表面積是 。（答案用含有的式子表示）

【答案】28π/3

練習題2：

設直線與球有且隻有一個公共點，從直線出發的兩個半平面截球的兩個截面的半徑分别為，若二面角的平面角為，則球的表面積為（ ）

A、16 B、28 C、112 D、196

【答案】C

練習題3：

已知三棱錐A﹣BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝2，BC＝2AD，直線AD與底面BCD所成角為，則此時三棱錐外接球的表面積為（　　）

A．4π B．8π C．16π D．8√2π/3

【答案】B．

練習題4：

在三棱錐P﹣ABC中，PA＝2，PC＝2，AB，BC＝3，∠ABC，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為（　　）

A．4π B．(16/3)π C．π D．16π

【答案】D．

練習題5：

在三棱錐P﹣ABC中，∠ACB，CA＝CB＝2，PA＝PB＝2，PC＝2，則三棱錐P﹣ABC的外接球表面積為（　　）

A．12π B．24π C．36π D．48π

【答案】B．

練習題6：

在三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AB，BC，∠APC，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為（　　）

A．8π B． (28/3)π C．10π D．(32/3)π

【答案】D．

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!