整除與餘數問題?先列舉部分整除或餘數的規律，今天小編就來聊一聊關于整除與餘數問題?接下來我們就一起去研究一下吧!

整除與餘數問題

先列舉部分整除或餘數的規律

規律1.自然數除以2的整除（餘數）規律

完全取決于個位數，個位能被2整除該自然數就能被2整除，個位除以2的餘數就是該自然數除以2的餘數。

規律2.自然數除以5的整除（餘數）規律

完全取決于個位數，個位為5或0則該自然數就能被5整除，個位除以5的餘數就是該自然數除以5的餘數。

規律3.自然數除以3的整除（餘數）規律

自然數的所有位數之和能被3整除則該自然數能被3整除（如果位數和是多位數，可以循環将和的位數相加得新數，直到最終位數和為小于10的數，最終和為3、6、9則原自然數能被3整除，其他則不能），餘數規律同整除。

規律4.自然數除以9的整除（餘數）規律

自然數的所有位數之和能被9整除則該自然數能被9整除（如果位數和是多位數，可以循環将和的位數相加得新數，直到最終位數和為小于10的數，最終和為9則原自然數能被9整除，其他則不能），餘數規律同整除。

規律5.自然數除以7、11、13的整除（餘數）規律（通常用于較大自然數的計算）

規律5.1：百十個組成的數 減去 切除個十百位後的新數的差。如5016取決于16-5=11，11能被11整除，但不能被7和13整除，故5016能被11整除，不能被7及13整除；又如：1001取決于001-001=0，則1001能被7、11、13整除。

如果自然數過大，則将該自然數從右往左每3位分一段，高位不足3位添0，得一系列3位數；這一系列數從右往左（或從左往右）分别用減、加、減、加…….所得的數除以7、11、13的餘數與原自然數除以7、11、13的餘數相同。如：123123321321543543可以截成543、543、321、321、123、123,543-543 321-321 123-123=0，則123123321321543543能被7、11、13整除，如果系列數運算結果不是0則可以單獨運算。如果系列數運算結果仍然很大，可以循環分段計算。

規律5.2：對自然數除以11而言，還可以将自然數兩位兩位分段，然後将分段的數相加，再除以11，也可以循環。如902,09 02=11，故902能被11整除；又71225,25 12 7=44，44能被11整除故71225能被11整除。循環的例子就不枚舉了。

上述規律的知識點看似乎比較多，部分知識點很多人沒有直接學習過，遇到需要應用的時候往往不能解決問題。本文将由淺入深理解計算整除（或餘數）規律的方法（截數法），用此方法可以推算出上述及更多的知識點，在沒學或忘記的情況下可以自己推算出規律來。

一、能被2整除的規律

重點不是記住規律，而是要理解計算規律的方法，後續其他數将按照此思路進行計算其規律。

(一)10以内的規律

個位數為0、2、4、6、8能被2整除，個位數能被1、3、5、7、9不能被2整除

（二）兩位及以上的自然數能被2整除的規律

規律仍然為個位數為0、2、4、6、8能被2整除，個位數能被1、3、5、7、9不能被2整除，其原因為：

假如一個1位以上的自然數，我們把它截成兩部分

十位及以上的數、個位數

那麼該自然數=十位及以上的數×１０＋個位數

因為１０能被２整除，所以該數除以２的餘數就與個位數除以2的餘數相同，也就是說，一個自然數能否被2整除完全取決于個位數能否被2整除。

如2897=289×10 7，2897能否被2整除取決于7能否被2整除，7不能被2整除，故2897不能被2整除

二、能被5和10整除的規律

用計算能被2整除規律方法可知：能被5整除的數必須個位數為0或5；能被10整除的數的個位數必須為0。

三、能被3整除的規律

（一）10以内的自然數

能被3整除的數隻有3、6、9

（二）兩位及以上的自然數

将該自然數分解為：

個位 10×十位＋100×百位 1000×千位……

即：個位 (9 1)×十位＋(99 1)×百位 (999 1)×千位……

因為：9、99、999……均能被3整除

所以：該自然數除以3的餘數等于所有位數之和除以3的餘數；換言之，一個數的所有位數之和能被3整除則該自然數就能被3整除，和不能被3整除則該數也不能被3整除。

如：12345=5 10×4 100×3 1000×2 10000×1

=5 （9 1）×4 （99 1）×3 （999 1）×2 （9999 1）×1

5 4 3 2 1=15，15能被3整除，故12345能被3整除

延伸：如果自然數所有位數和大于9，則可以再次将和的各位數相加，如相加之和仍大于9則一直循環至最終和為個位數為止，最終和為3、6、9則能被3整除，其他則不能。

上例：15循環位數和，1 5=6，6為3、6、9之一。

而12346的位數和為16，再位數和為7,7不是3、6、9之一，故12346不能被3整除

四、能被9整除的自然數的規律

用能被3整除的數的方法可知：

能被9整除的數的規律是所有位數和能被9整除；如果用3的延伸方法，能被9整除的數的最終和等于9，最終和為其他數則最終和就是原自然數除以9的餘數。

如：12348的位數和為18,18能被9整除，故12348能被9整除

延伸法：将18再次位數和為9，最終和為9，則12348能被9整除；而12347位數最終和為8，則12347不能被9整除（8為12347除以9的餘數）

五、能被4、8、6整除自然數的規律

（一）4的規律

因為4×２５＝１００，故一個自然數能否被４整除取決于去掉百位及以上的數隻保留個十兩位數的新數能否被４整除。

又因為４×５＝２０，每20一循環

故如果十位數是奇數，則個位必須為2、6（如12、16）才能被4整除；如果十位數是偶數，則個位必須是0、4、8（20、24、28）才能被4整除。

如：123456，隻考慮個十兩位56，5為奇數，個位6為2、6之一，故123456能被4整除；而123458的十位5是奇數，個位8不2或6，故123458不能被4整除。

又如：123466，隻考慮66，十位6是偶數，個位6不是0、4、8之一，故123466不能被4整除；而123468就可以被4整除。

（二）8的規律

8×12５=1000；8×2５=200；8×13=104=100 4

規律一：能否被8整除取決于個十百三位數。

規律二：如果百位數為偶數，取決于個十兩位數。

規律三：如果百位數為奇數，取決于個十兩位數組成的新數減去4的差。

如：9120，隻考慮個十百120，百位數1為奇數，則個十位數20-4=16,16能被8整除，故9120能被8整除；

又如9420，隻考慮420,4為偶數，則隻考慮個十位20,20不能被8整除，故9420不能被8整除；而9624的個十兩位為24,24能被8整除，故9624能被8整除。

（三）6的規律

首先得是偶數，其次得能被3整除

六、7、11、13的規律

（一）共性

因為7×11×13=1001=1000 1（1000=1001-1）

把數分為兩部分：千位及以上數 個十百

該數為：千位以上組成的數×(1001-1) 個十百

=千位以上組成的數×1001 - 千位以上組成的數 個十百

1001能被7、11、13整除，故該數能否被上述3數整除取決于：個十百 減去 千位以上組成的數的差（- 千位以上組成的數 個十百）。如5016取決于16-5=11，11能被11整除，但不能被7和13整除，故5016能被11整除，不能被7及13整除。

延伸：如果自然數過大，則每3位分一段；從右往左（或從左往右）分别用減、加、減、加…….所得的數

如： 123456780111分段為123、456、780、111（分段從右邊開始往左邊分，高位位數不足3位則用0填補，如：6321分為006、321）

123-456 780-111或111-780 456-123得336或-336

336=3×112=3×16×7，故336能被7整除，不能被11及13整除，也就是說123456780111能被7整除，不能被11及13整除。

（二）個性

1.7的個性（可用于3位數快速運算）

7×14=98 （98 2=100）

故7還取決于：個十 百位及以上×2。如105取決5 1×2=7；112取決于12 2=14等。

2.11的個性

11×9=99=100-1（100=99 1）

故11能否整除取決于将數每兩位分隔所得數之和。

如：1001取決于10 01；10011001取決于10 1 10 1=22

延伸：如果一個數過大，則從個位開始每兩位截斷，将所有數相加之和，如果之和仍然較大，則循環截斷後求和，最終所得之數的個十兩位如相同，則原數能被11整除，否則不能。

上例：123456780111（12,34,56,78,01,11）可以截斷為11、01、78、56、34、12,11 01 78 56 34 12=192；192繼續截斷求和92 1=93,9和3不同（兩位數能被11整除，則個位和十位必然相同），故123456780111不能被11整除。

又如123456780117（12,34,56,78,01,17）可以截斷為17、01、78、56、34、12, 17 01 78 56 34 12=198,198繼續截斷求和98 1=99,99的個位和十位相同，故123456780117能被11整除。

3.13的個性（常用于3位數速算）

13×8=104=100 4(100=104-4)

故13能否整除取決于：個十 – 百位及以上×4

如：123,23-1×4=19,則123不能被13整除

而247,47-2×4=39=3×13，則247能被13整除

七、其他規律

（一）17的規律

由于17×6=102=100 2（100=102-2）

故17的規律是：個十兩位數 – 2×截掉個十兩位的數

如：119 取決于19-2×1=17

（二）19的規律

由于19×5=95=100-5（100=95 5）

故19的規律是：個十兩位數 5×截掉個十兩位的數

如：114取決于14 5×1=19，能被19整除

結束語：總之，解決整除問題（餘數問題）重點不是記住具體的規律，而是理解計算規律的方法，就是忘記了規律的情況下也可以推算出規律。當然，能将規律多記在日常學習中可以提高效率。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!