計算機内部處理的所有數據都必須是“數字化編碼”了的數據。數字化編碼的過程，就是指對感覺媒體信息進行采樣，将現實世界中的連續信息轉換為計算機中的離散的“樣本”信息，然後對樣本信息用“0”和“1”進行數字化編碼的過程。

1. 二進制隻有兩種基本狀态，使用有兩個穩定狀态的物理器件就可以表示二進制數的每一位。
2. 二進制的編碼，計算和運算規則都很簡單，可以用開關電路實現。
3. 兩個符号 1 和 0 正好與邏輯命題的兩個值 真 和 假 相對應。

在計算機内部，數值數據的表示方法有兩大類：第一類是直接用二進制數表示；另一類是采用二進制的十進制數（BCD）表示。表示一個數值數據需要确定三個要素：進位計數值，定/浮點表示和編碼規則。

日常生活中基本上都使用十進制數，其每個數位可用 10 個不同符号 0，1，2……，等表示。但在計算機系統中，常用的進位計數制有：二進制，二進制，十進制，十六進制。

整數部分的轉換方法是“除基取餘，上左下右”。即：用要轉換的十進制整數去除以基數 R，将得到的餘數作為結果數據中各位的數字，直到上商為 0. 上面的餘數作為右邊低位的數位，下面的餘數做為左邊高位上的數位。

小數部分的轉換方法是“乘基取整，上左下右”。即：用要轉換的十進制小數去乘以基數 R，将得到的乘積的整數部分作為結果數據中各位的數字，小數部分繼續與基數 R 相乘，以此類推，直到某一步乘積的小數部分為 0 或已得到希望的位數為止。最後，将上面的整數部分作為左邊高位上的數位，下面的整數部分作為右邊低位上的數位。

小數點位置約定在固定位置的數稱為定點數。頂點表示法用來對定點小數和定點整數進行表示。對于定點小數，其小數點總是固定在數的左邊（浮點數的尾數）。對于定點整數，其小數點總是固定在數的最右邊。

小數點位置約定為可浮動的數為浮點數。

對于任意一個實數 X，可以表示為：X=(-1)S * M * RE

其中，S 取值為 0 或 1，用來決定數 X 的符号。M 是一個二進制定點小數，稱為數 X 的尾數；E 是一個二進制定點整數，稱為數 X 的階或指數；R 是基數，可以取值為 2，4，16 等。

在基數 R 一定的情況下，尾數 M 的位數反映數 X 的有效位數，它決定了數的表示精度，有效位數越多，表示精度就越高；階 E 的位數決定數 X 的表示範圍；階 E 的值确定了小數點的位置。

一個數的原碼表示由符号位直接跟數值位構成。因此，也稱 “符号-數值” 表示法。原碼表示法中，正數和負數的編碼表示僅符号位不同，數值部分完全相同。

正數的補碼符号為0，數值部分是其本身。

負數的補碼等于模與該負數絕對值之差，即符号位為 1，數值部分取反再加一。

補碼采用的是模運算，故絕對值相同的正數和負數相加會等于模 2n。

由于是模運算，絕對值相等的正數和負數關于 2n-1 對稱。越靠經對稱軸的值（不管正數還是負數）都越大。

由于是模運算，補碼表示可以實現加減運算的統一，即用加法來實現減法運算。

計算機中的整數分為無符号整數和帶符号整數。

無符号整數：當一個編碼的所有二進制位都是用來表示數值而沒有符号位時，該編碼表示的就是無符号整數。此時默認數的符号為正（用于表示指針，下标等）。對應的數的值範圍為 0~2n-1

帶符号整數：必須有一個二進制位表示符号。n 位帶符号整數的表示範圍為：-2n-1 ~ 2n-1-1 。

C 語言中允許無符号整數和帶符号整數之間的轉換，轉換前，後的機器數不變，隻是轉換前，後對其的解釋發生了變化。

浮點數是用一個定點數來表示浮點數的尾數，另一個表示浮點數的階。由于兩個定點數的位數是有限的，因而浮點數的表示範圍也是有限的。 以 32 為浮點數為例：其表示為：

image

非規格化數浮點數的偏移量是 2^7（128），即 0 的階碼為 10000000。故階碼能表示的最大數為 127，最小數為 -128。

非規格化數的位數為 24位，表示形式為：0.1bbb……b，其中第一位 1 不明顯表示出來，這樣可以用 23 個數來表示 24 位尾數。

非規格化浮點數的表示範圍：

• 負數： 最大值：-0.10……0 * 2-128 = -2-129最小值：-0.11……1*2127 = -(1-2-24) * 2127
• 正數： 最大值：0.11……1 * 2127 = (1-2-24) * 2127最小值：0.10……0 * 2-128 = 2-129

由上看出，正數和負數的取值範圍關于 0 對稱。

浮點數尾數的位數決定浮點數的有效數位，有效數位越多，數據的精度越高。為了在浮點數運算過程中盡可能多地保留有效數字的位數，使有效數字盡量占滿尾數數位，必須在運算過程中對浮點數進行規格化操作。

對浮點數進行規格化，除了能得到盡量多的有效數位，還可以使浮點數的表示具有唯一性。

目前幾乎所有計算機都采用 IEEE 754 标準表示浮點數。在這個标準中，提供了兩種浮點格式：32 位單精度格式和 64 位雙精度格式。

• 32 位單精度格式包含 1 位符号 s，8 位階碼 e 和 23 位尾數 f;
• 64 位雙精度格式包含 1 位符号 s，11 位階碼 e 和 52 位尾數 f;

其基數隐含為 2，尾數用原碼表示，規格化尾數第一位總為 1，因而可在尾數中缺省第一位的 1，該缺省位稱為隐藏位，隐藏一位後使得單精度格式的 23 位尾數實際表示 24 位有效數字。IEEE 754 規定隐藏位 1 的位置在小數點之前。

IEEE 754 标準中，階碼用移碼表示，偏置常數并不是通常的 2n-1，而是 2n-1-1，因此，單精度和雙精度浮點數的偏置常數分别為 127 和 1023。

偏置常數這樣選取的好處：

1. 尾數可表示的位數多一位，因而使浮點數的精度更高。
2. 階碼的可表示範圍更大，因而使浮點數範圍更大。

偏置常數為127的階碼表示範圍：-126~127。 偏置常數為128的階碼表示範圍：-127~126。 由于IEEE754中規定了非規格化浮點數的階碼為-126，且隐藏位表示0。 故非規格化浮點數表示的範圍為：0~1.11……1*2^(-127)。 能夠覆蓋掉偏置常數為128中的一個子序列。故選擇偏置常數為127。

非規格化數的特點是階碼全為 0，尾數高位有一個或幾個連續的 0，但不全為 0。隐藏位為 0，并且單精度和雙精度浮點數的階分别為 -126 和 -1022，故浮點數的值分别為：(-1)s * 0.f * 2-126 和 (-1)s * 0.f * 2-1022 。

非規格化數可用于處理階碼下溢，使得出現比最小規格數還小的數時程序也能繼續執行。

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