解決立體幾何問題“平移是手段，垂直是關鍵”，空間向量的方法是使用向量的代數方法去解決立體幾何問題。兩向量共線易解決平行，兩向量的數量積則易解決垂直、兩向量所成的角、線段的長度問題。合理地運用向量解決立體幾何問題，在很大程度上避開了思維的高強度轉換，避開了添加輔助線，代之以向量計算，使立體幾何問題變得思路順暢、運算簡單。

1. 證平行、證垂直

具體方法利用共線向量基本定理證明向量平行，再證線線、線面平行是證明平行問題的常用手段，由共面向量基本定理先證直線的方向向量與平面内不共線的兩向量共面，再證方向向量上存在一點不屬于平面，從而得到線面平行。

證明線線、線面垂直則可通過向量垂直來實現。

例1 如圖1，E、F分别為空間四邊形ABCD中AB、CD的中點，證明AD、EF、BC平行于同一平面。

圖1

證明：

，且

又

所以

即

可知，

與

共面，所以EF與AD、BC平行于同一平面。

例2. 已知A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），則ΔABC是___________。

分析：

（3，4，－8），

（5，1，－7），

（2，－3，1）顯見：

，故ΔABC為直角三角形。

2. 求角、求距離

如果要想解決線面角、二面角以及距離問題就要增加平面法向量的知識。

定義：如果n⊥α，那麼向量n就叫平面α的法向量。

求解方法：

（1）異面直線所成的角α，利用它們所對應的向量轉化為向量的夾角θ問題，但

，

，所以

（2）直線與平面所成的角，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的餘角（或補角的餘角）。如圖2：

。

圖2

（3）求二面角，轉化為兩平面法向量的夾角或夾角的補角，顯見上述求法都避開了找角的繁瑣，直接計算就可以了。

求點面距離，轉化為此點與面内一點連線對應向量在法向量上投影的絕對值。

例3. 如圖3，已知長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AB＝2，AA₁＝1，直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30°，AE垂直BD于E，F為A₁B₁的中點。

（1）求異面直線AE與BF所成的角。

（2）求平面BDF與平面AA₁B所成二面角（銳角）的大小。

（3）求點A到平面BDF的距離。

圖3

解：在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，以AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AA₁所在直線為z軸，建立空間直角坐标系如圖3，所以A（0，0，0），B（2，0，0），F（1，0，1），因為直線BD與平面AA₁B₁B所成的角為30°，所以∠DBA＝30°又AB＝2，AE⊥BD，所以AE＝1，AD＝

，因為E（

，

，0），D（0，，0）（1）因為

所以

即異面直線AE、BF所成的角為

（2）易知平面AA₁B的一個法向量m＝（0，1，0），設n＝（x，y，z）是平面BDF的一個法向量，

由

所以

取

所以

（3）點A到平面BDF的距離即

在平面BDF的法向量n上的投影的絕對值。所以

例4. 如圖4，已知正四棱錐R—ABCD的底面邊長為4，高為6，點P是高的中點，點Q是側面RBC的重心。求直線PQ與底面ABCD所成的角。

圖4

解：以O為原點，以OR所在直線為z軸，以過O與AB垂直的直線為x軸，與AB平行的直線為y軸建立空間直角坐标系。

因為底面邊長為6，高為4，所以B（2，2，0），C（－2，2，0），R（0，0，6），所以Q（0，

，2），P（0，0，3），

（0，，－1），面ABCD的一個法向量為n＝（0，0，1），設PQ與底面ABCD所成的角為α，則

。

空間向量在立體幾何中的應用體現了數形結合的思想，培養了學生使用向量代數方法解決立體幾何問題的能力。目的是将空間元素的位置關系轉化為數量關系，将形式邏輯證明轉化為數值計算，用數的規範性代替形的直觀性、可操作性強，解決問題的方法具有普遍性，大大降低了立體幾何對空間想象能力要求的難度。

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