一、在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，若直接證不出來，可連接兩點或延長某邊構成三角形，使結論中出現的線段在一個或幾個三角形中，再運用三角形三邊的不等關系證明，如：

例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC内兩點,求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.

證明：（法一）将DE兩邊延長分别交AB、AC 于M、N，

在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD； （2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE； （3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的内角時如直接證不出來時，可連接兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形的外角的位置上，小角處于這個三角形的内角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1：已知D為△ABC内的任一點，求證：∠BDC＞∠BAC。

分析：因為∠BDC與∠BAC不在同一個三角形中，沒有直接的聯系，可适當添加輔助線構造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在内角的位置；

證法一：延長BD交AC于點E，這時∠BDC是△EDC的外角，

∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

證法二：連接AD，并延長交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理證明不等關系時，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個三角形的内角位置上，再利用不等式性質證明。

三、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，如：

例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。

分析：要證BE＋CF＞EF ，可利用三角形三邊關系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應邊相等，把EN，FN，EF移到同一個三角形中。

證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，

在△DBE和△DNE中：

∵DN=DB， ∠1=∠2，ED=ED

∴△DBE≌△DNE （SAS）

∴BE＝NE（全等三角形對應邊相等）

同理可得：CF＝NF

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE＋CF＞EF。

注意：當證題有角平分線時，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構造全等三角形，然後用全等三角形的性質得到對應元素相等。

四、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全等三角形。

例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF

證明：延長ED至M，使DM=DE，連接

CM，MF。在△BDE和△CDM中，

∵BD=CD，∠1=∠CDM，ED=MD

∴△BDE≌△CDM （SAS）

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4 （已知）

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）

∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°

∴∠FDM＝∠EDF ＝90°

在△EDF和△MDF中

∵ED=MD，∠EDF=∠FDM，DF=DF

∴△EDF≌△MDF （SAS）

∴EF＝MF （全等三角形對應邊相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE＋CF＞EF

注：上題也可加倍FD，證法同上。

注意：當涉及到有以線段中點為端點的線段時，可通過延長加倍此線段，構造全等三角形，使題中分散的條件集中。

五、有三角形中線時，常延長加倍中線，構造全等三角形。

例如：如圖5-1：AD為 △ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。

分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到： AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋ BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉移到同一個三角形中去。

證明：延長AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD

∵AD為△ABC的中線 （已知）

∴BD＝CD （中線定義）

在△ACD和△EBD中

BD=BD，∠ADC=∠EDB，AD=ED

∴△ACD≌△EBD （SAS）

∴BE＝CA（全等三角形對應邊相等）

∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AB＋AC＞2AD。

（常延長中線加倍，構造全等三角形）

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