解構神奇的印度乘法速算
（之四）
今天給大家帶來的是印度乘法速算中計算最為簡單的特殊模式之一的：“個位相同，十位互補的兩位數乘兩位數”的算理解構。
“個位相同，十位互補的兩個兩位數”，就是這兩個數的十位都是同一個數字，而它們的個位相加剛好等于“10”，這樣的一組兩位數還是比較常見的，比如“39×79”，“43×63”，以及十位為“5”的兩位數的完全平方，如“562”。符合這種模式的兩位數乘法，比“十位相同，個位互補的兩個兩位數”的乘法稍複雜一點，但是仍然能夠快速得到結果。
由于兩個乘數的個位相同，而十位相加等于“10”，所以我們可以将這兩個兩位數分别表示為“a×10 b”和“(10-a)×10 b”，（例如：35×75時，可以把35表示為“3×10 5”，把75表示為“(10-3)×10 5”）：
與前面的文檔一樣，我們用代數的方法将它們相乘如下：
觀察這個結論式：
“×100”表示的就是百位上的數值，
“×1”表示的就是個位上的數值，因此我們發現這個結論隻需要在百位和個位填上數值，
“a×(10-a) b”，就是十位相乘後再加上個位，
“b×b”，正好就是這兩個數的個位相乘，或個位的平方；
由于它們的個位相乘隻能是兩位數，所以甚至連進位都不用考慮，我們就得到了下面的結論：
兩個乘數的個位相乘（或個位的平方）得到積的個位和十位（不足“10”的十位補“0”）；
兩個乘數的十位相乘再加上個位得到積的百位和千位；
用圖形表示如下：
整個計算過程，隻需要進行一次先乘後加和一次完全平方就可以完成，全程沒有進位，“秒出答案”又一次從理想變為現實。這裡我們注意到，積的個位和十位組成的數一定是完全平方數，這也更加方便于我們檢查。
這就是數學的神奇之處，這種神奇，在數學的奇遇中層出不窮，從計算到幾何，從求解方程到看似複雜的問題，一旦你看透了它的本質，就可以“秒出答案”。
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