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全等三角形的判定和性質是七年級數學的重要知識點，也是初中幾何的入門，很多同學在學習過程中感覺比較費解，本文就例題詳細講解知識點及幾何證明題的解題思路，希望能給同學們的複習備考提供幫助。

如圖1，已知正方形ABCD（正方形四條邊都相等，四個角都是直角），把一個直角與正方形疊合，使直角頂點與一重合，當直角的一邊與BC相交于E點，另一邊與CD的延長線相交于F點時。

（1）證明：BE＝DF；

（2）如圖2，作∠EAF的平分線交CD于G點，連接EG。證明：BE＋DG＝EG；

（3）如圖3，将圖1中的“直角”改為“∠EAF＝45°”，當∠EAF的一邊與BC的延長線相交于E點，另一邊與CD的延長線相交于F點，連接EF。線段BE，DF和EF之間有怎樣的數量關系？并加以證明。

1、證明：BE＝DF

根據題目中的條件：正方形的四個角都為直角，則∠DAB=90°，∠B=90°，∠ADC=90°；

根據題目中的條件和結論：∠DAB=90°，∠DAB=∠BAE ∠DAE，則∠BAE ∠DAE=90°；

根據題目中的條件：∠EAF=90°，∠EAF =∠DAF ∠DAE，則∠DAF ∠DAE=90°；

根據結論：∠BAE ∠DAE=90°，∠DAF ∠DAE=90°，則∠BAE=∠DAF；

根據題目中的條件和結論：∠ADC=90°，∠ADF ∠ADC=180°，則∠ADF=90°；

根據結論：∠ADF=90°，∠B=90°，則∠B=∠ADF；

根據題目中的條件：正方形的四條邊都相等，則AB=AD；

根據全等三角形的判定定理、題目中的條件和結論：兩組角及其夾邊分别相等的兩個三角形全等，∠BAE=∠DAF，AB=AD，∠B=∠ADF，則△BAE≌△DAF；

根據全等三角形的性質定理和結論：全等三角形的對應邊相等，△BAE≌△DAF，則BE＝DF，AE=AF。

2、證明：BE＋DG＝EG

根據角平分線的性質定理和題目中的條件：角平分線可以得到兩個相等的角，AG為∠EAF的平分線，則∠EAG=∠FAG；

根據全等三角形的判定定理、題目中的條件和結論：兩組邊及其夾角分别相等的兩個三角形全等，AE=AF，∠EAG=∠FAG，AG=AG，則△EAG≌△FAG；

根據全等三角形的性質定理和結論：全等三角形的對應邊相等，△EAG≌△FAG，則EG＝FG。

根據題目中的條件和結論：DF DG=FG，BE＝DF，EG＝FG，則BE＋DG＝EG。

3、當∠EAF＝45°，證明：DF＋EF＝BE

添加輔助線分析：根據需要證明的結論：DF＋EF＝BE，考慮要把三條線段移到一起才能找相互之間的數量關系，所以，利用全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等，把DF、EF進行等量轉換，轉移到BE上面，就得到需要證明的結論。所以，這樣添加輔助線：在BC上取一點G，使得BG=DF。

根據全等三角形的判定定理、輔助線和結論：兩組邊及其夾角分别相等的兩個三角形全等，AB=AD，∠ABG=∠ADF，BG=DF，則△ABG≌△ADF；

根據全等三角形的性質定理和結論：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，△ABG≌△ADF，則AG＝AF，∠BAG=∠DAF；

根據題目中的條件和結論：∠BAG=∠DAF，∠EAF＝∠DAF ∠EAD，∠EAF＝45°，則∠BAG ∠EAD＝45°；

根據題目中的條件：正方形的四個角為直角，則∠BAD=90°；

根據題目中的條件和結論：∠BAD=90°，∠BAD=∠BAG ∠GAE ∠EAD，∠BAG ∠EAD＝45°，∠GAE=45°；

根據題目中的條件和結論：∠EAF＝45°，∠GAE=45°，則∠GAE=∠EAF；

根據全等三角形的判定定理、輔助線和結論：兩組邊及其夾角分别相等的兩個三角形全等，AG＝AF，∠GAE=∠EAF，AE=AE，則△GAE≌△EAF；

根據全等三角形的性質定理和結論：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，△GAE≌△EAF，則EG＝EF；

根據輔助線和結論：BG=DF，EG＝EF，BG EG= BE，則DF＋EF＝BE。

關于全等三角形的幾何證明題解題思路分為以下幾步：

第一、從條件出發，推理得到相關的結論

對于較為簡單的幾何證明題，直接從條件出發，就可以推論得到題目需要證明的結論。特别注意：根據定理進行推論時，必須具備定理中要求的所有條件，才能進行正确地推理。

第二、從結論出發，反推需要先得到哪些條件

對于較為複雜的幾何證明題，不僅需要從條件出發推理結論，還需要從結論出發反推需要先得到哪些條件，通過雙向推理，就能得到題目需要證明的結論。

第三、根據題意，合理添加輔助線幫助解題

根據題目中的條件和結論，如果直接推理得不到需要的結論，就要考慮添加輔助線來幫助證明，一般考慮構造全等三角形，把線段、角進行等量轉換，就能得到需要證明的結論。

總之，隻有熟練掌握幾何證明題的正确解題思路，并靈活運用全等三角形的判定和性質定理，才能成功應對這類題型，為數學期末考試取得高分加油助力！

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