大自然生物的美，總是給人以美的享受，就像蝴蝶一樣，對稱的體型，美麗的翅膀，總能讓人心情舒暢。今天，我們走進數學的殿堂，來一起認識一下另一種蝴蝶。連接任意一個四邊形的對角線，會将四邊形分成四個部分，它的形狀類似于蝴蝶，稱之為“蝴蝶模型”，其背後關于面積和邊的比例性質引出了一系列定理，稱之為“蝴蝶定理”。
一、任意四邊形中的比例關系(“蝶形定理”)
★結論1:如圖所示，ABCD是任意一個四邊形，被兩條對角線分成了四部分，其面積分别為S1、S2、S3、S4,則有:
☞上述結論的得出依據有兩個:一是等高三角形面積之比等于對應的底之比。即:S1:S2=DO:OB=S4:S3。二是比例的基本性質。即在比例裡，兩個外項的積等于兩個内項的積。由S1:S2=S4:S3可得外項積=S1×S3，内項積=S2×S4,從而得出結論。第②個結論的得出也是依據比例的一些性質，綜合計算得出來的，因為:S1:S4=S2:S3= AO:OC（設其等于a）,則S1=a×S4，S2=a×S3，從而（S1 S2）÷（S4 S3）=a =AO:OC
二、梯形中比例關系(“梯形蝶形定理”)
★結論2:如圖所示，ABCD是梯形，被兩條對角線分成了四部分，其面積分别為S1、S2、S3、S4,則有:
結論①的證明需要借助:平行線分線段成比例性質及其推論（内容附後）以及鳥頭模型。根據平行線分線段成比例性質及其推論，可得，AO:OC=DO:OB=a:b,根據鳥頭模型，可知:S1:S3=（AO×OD）:（BO×OC ）=a²:b²,結論②和③方法相同。
三、具體應用
蝶形定理為我們提供了解決不規則四邊形的面積問題的一個途徑．通過構造模型，一方面可以使不規則四邊形的面積關系與四邊形内的三角形相聯系；另一方面，也可以得到與面積對應的對角線的比例關系．
例題:
練習題及答案
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