人類使用圓周率π有着相當漫長的曆史，古人早就知道任何一個圓的周長和直徑之比是一個常數，這個常數被定義為圓周率，相關證明方法并不複雜。
如上圖所示，假設有兩個同心圓O1和O2，圓心為O，它們的半徑分别為r1和r2，并且r1<r2。然後把兩個同心圓分成n等份，考察其中一等份。可以看到，△AOB和△COD均為等腰三角形，OA=OB=r1，OC=OD=r2。再由∠AOB=∠COD，就能證明△AOB∽△COD。由此可得如下的關系：
圓O1和O2内接正n邊形的周長p1和p2分别為：
p1=n·AB
p2=n·CD
如果圓分成的等份越多，那麼，内接正多邊形的周長就越接近于圓，所以圓O1和O2的周長c1和c2與p1和p2有如下的關系：
c1≈p1=n·AB
c2≈p2=n·CD
如果取極限，當圓分為無窮多等份時，即n趨于無窮大時，内接正多邊形的周長就會等于圓的周長，所以有如下的關系：
把上述兩式經過變形可得如下的形式：
由于相似三角形的關系，AB/r1=CD/r2，所以可以得到如下的關系：
因此，任何圓的周長與直徑之比是一個常數，這個常數就是我們所說的圓周率π。
當然，圓的周長與半徑的比值也是常數（記作τ，大約為6.28），之所以數學家沒有把這個常數定義為圓周率，是因為用圓的周長與直徑定義的常數使用起來更為方便，例如，用公式表示圓的面積時，πr^2顯然比τ/2r^2來得更方便。雖然曾有人主張把π替換成τ，因為在某些公式中用τ會更簡潔，但也僅限于少數公式，所以π的地位無可撼動。
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