#頭條創作挑戰賽#

老黃在某平台發表過這樣的一個視頻作品。證明餘切cotx的導數是-(cscx)^2，并且提供了三種證明方法，可見老黃有多用心，結果卻被平台的審核人員以答案錯誤，與主流答案不一緻為由拒絕了，實在是太氣人了。

不講出這個平台的名字，不是害怕什麼，隻是不想給他們做廣告。受了委屈不發洩幾句，心裡難平。老黃就趁這個機會給大家分享一下求cotx的導數的三種方法吧。導數本身并不是非常重要，求導的方法才是重中之重。

在沒有其它常用導數的支持下，求cotx的導函數，隻能借用導數的定義公式。

(cotx)'=lim(h->0)(cot(x h)-cotx)/h，然後利用餘切等于餘弦與正弦的商，把極限化為：

lim(h->0)(cos(x h)/sin(x h)-cosx/sinx)/h，對分母通分相減，就可以得到：

lim(h->0)((sinx∙cos(x h)-sin(x h)∙cosx)/(sin(x h)∙sinx))/h, 其中：

sinx∙cos(x h)-sin(x h)∙cosx=sin(x-(x h))=sin(-h)=-sinh.

因此，極限等于-lim(h→0) ((sinh )/(sin(x h)∙sinx))/h，可以利用積的極限公式，把這個極限分解成兩個極限的積：

-lim(h→0) (sinh )/h∙lim(h→0) 1/(sin(x h)∙sinx)，前面的極限是第一個重要極限，結果等于1，後面的極限是一個連續函數的極限，直接代入h=0，就可以解得：

(cotx)'=-1/(sin x)^2= -(cscx)^2.

其實我們在求cotx的導數之前，在教學中，都是已經求得sinx和cosx的導數的，因此我們也可利用商的求導法則來求cotx的導數。

即分母的平方做導數的分母，分子的導數乘以分母減去分母的導數乘以分子，做導數的分子。

因此，由(sinx)'=cosx, (cosx)'=-sinx. 就有

(cotx)'=(cosx/sinx)'=(-(sinx)^2-(cosx)^2)/(sinx)^2==-1/(sinx)^2=-(cscx)^2.

或者，我們也可以利用tanx的導數，根據函數的倒數求導法則來求cotx的導數。

即，函數的倒數的導數，等于原函數的平方分之原函數的導數的相反數。

因此，由(tanx)'=(secx)^2，就可以得到

(cotx)'= (1/tanx)′=-(tanx)′/(tan x)^2=-(sec x)^2/(tan x)^2 = -(cscx)^2.

盡管老黃的證明有理有據，他們仍可以昧着良心拒絕，其無恥之程度，實在令人乍舌。寫這樣的文章，就不怕他們封老黃的号，封了号，老黃就解脫了。

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