在中考數學試卷中，幾何綜合探究最值問題往往作為壓軸題出現，有一定的綜合性和難度，但其解題思路和方法都是相對固定的，掌握其解題思路和方法就可以幫助我們快速找到解題思路和方法，将題目順利解答。

在幾何綜合探究題中，有關線段最值及面積最值問題出現得比較多，現就以一道中考數學模拟題的幾何綜合探究題為例，來分析和讨論此類問題的解題思路、方法和要點。

這是一道幾何綜合探究題，一共包含三問，難度依次遞增，尤其是第三問，需要建立數學模型，來解決實際問題。

先來看看第一問：

已知定線段BC=5，動點在定線段BC的上方，且滿足點A到點B的距離是4，求△ABC的面積的最大值。

在三角形ABC中，BC為定線段，且長度為5，點A為定點，但到點B的距離為4，那麼可以作出點A的運動軌迹，即點A在以點B為圓心，4為半徑的圓周上移動。如圖所示：

随着點A的運動，三角形ABC的形狀和大小都在發生改變，但BC邊保持不變，求三角形ABC面積的最大值，以BC為邊，隻需要求出BC邊上高的最大值即可，也就是點A到BC的距離的最大值即可。

那麼當點A運動到何處時，點A到BC的距離最大呢？從上圖不難發現，當AB⊥BC于點B時，BC邊上的高，也就是點A到BC的距離最大，等于AB的長度.則高的最大值為4，那麼三角形ABC面積的最大值就是10.

第一問比較基礎，幾何圖形分析即可得出答案。

再來看看第二問：

已知圓的一條弦及其長度，并且知道其所對的弧所對的圓心度數為60度，看到這組條件，立即能想到，标準的定角定弦問題。

在弦AC上存在一點D，滿足BD=CD，結合∠ACB=60°，可知三角形BCD為等邊三角形。

問題是求△ABD周長的最大值，現在AB邊的長度已知，那麼隻需要求出AD BD的最大值即可，題目中已知BD=CD，AD BD的最大值就是AD CD的最大值，也就是AC的最大值。

那麼AC的最大值是多少呢？點C是一個動點，在圓上移動

我們知道，圓中最長的弦是直徑。因此當AC為直徑時，長度最大，此時△ABD的周長最大。

如圖，當點C運動到C′時，AC最大，接下來求AC′ 的長度，也就是圓的直徑即可。

根據題意可得，∠AC′B等于60°，∠ABC等于90°，這是一個特殊的直角三角形，根據三邊關系，可以求出C′B等于4.C′A等于8.

所以三角形ABD周長的最大值為8 4倍的根号3.

第二問的關鍵是将AD BD進行轉化，然後再利用圓中最長的弦為直徑，化折為直，進行分析和計算即可。

最後來看看第三問：

這種題目，第三問在分析和解答時，必然與前兩問有着聯系，其方法和思路有着共通的部分，因此在分析和解答第三問時，如果暫時沒有思路，可以回頭去看看第一問和第二問，參照其解題方法、輔助線方法及其轉化方法，也許就能知道思路和突破口了。

簡單分析第三問的條件，有一塊四邊形的土地ABCD，已知AB=BC=100，且AB和EG都垂直于BE，那麼可得四邊形ABCD為直角梯形，先分析到這一步。

這個題的關鍵在動點F，要求滿足的條件很多，首先是兩塊水稻的種植面積要相等，這是這一問的第一個關鍵點。

兩塊水稻的種植面積要相等，也就是△ABC和四邊形CGEF的面積要相等，在這這一步需要轉化，轉化到△ABF和△GBE中，這兩三角形面積相等。

都為直角三角形，且一組直角邊AB=BE，說明另一組直角邊BF=GE，也就說明了，這兩個三角形是全等的。

得到△ABF和△BEG全等之後，經過角的轉化可以得到∠ACB=90°，即三角形ABC為直角三角形。

再看下一個要求，要滿足△ABC的面積最大，且AC BC盡可能長，這兩個條件要同時滿足。

先思考點C在何處時，能保證三角形面積最大：

剛才已經分析得到三角形ABC為直角三角形，且AB=100。

做△ABC的外接圓，如下圖所示，以AB的中點為圓心，以AB長度一半為半徑畫圓，如下圖中紫色的圓。

點C在紫色的圓上移動。

AB邊上的高最大時，也就是點C到邊AB的距離最大，三角形ABC的面積最大，這個問題在第一問已經解決過。

根據已知條件可得，當三角形ABC為等腰直角三角形時，點C運動到最高點，也就是圖中的C′的位置時，距離AB的距離最大，此時△ABC邊上的高最大，三角形面積最大。

經過計算可得，△ABC面積的最大值為2500.

再來思考AC BC盡可能長這個要求：

求兩線段長度之和的最大值，一般的思路是化折為直

也就是該如何将AC BC轉化到同一條線上呢？

那麼可以AC的延長線上取一點B′，滿足CB=CB′.

所以AC BC=AC CB′=AB′.

也就是需要求AB′的最大值。

我們發現：在三角形AB′B中，∠AB′B=45°，且AB=100，這又是标準的定角定弦模型，可以确定B′的運動軌迹。

做△AB′B的外接圓，則點B′在圓周上運動，如圖中藍色的圓。

經過分析發現當AB′ 為△AB′B外接圓的直徑時，AB′最大，也就是點B′移動到圖中H的位置。

經過計算，可得AH=100倍的根号2.

最後再來分析，面積最大和AC BC最大能同時滿足嗎？

如圖所示，當點C運動到三角形△AB′B的外接圓的圓心O時，即可保證AC BC最大，也可以保證△ABC的面積最大。

歡迎大家一起讨論、交流和學習。

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