還記得質數吧？這是一個3000年前的問題：

• 2、3、5、7 、11、13 、17 、19 、23 、29、 p。p是什麼？31。下一個p是什麼？這是37。後面的p呢？41.。然後呢？43。但是，你怎麼知道接下來會發生什麼？

給出一個預測下一個質數将是什麼的公式（在任何給定的數字序列中），那麼你的名字将永遠和最偉大人聯系在一起，類似于牛頓，愛因斯坦和哥德爾。

曆史上許多數學巨人都研究過質數的性質。從歐幾裡得第一次證明素數有無限多個，到将素數與 ζ函數聯系起來的歐拉乘積公式。從高斯和勒讓德的素數定理公式到哈達瑪德和德拉瓦萊普桑。伯恩哈德·黎曼仍然是在質數理論中取得最大突破的數學家。他的全部工作都包含在1859年發表的一篇8頁的論文中，這篇論文對素數的分布做出了新的、前所未有的闡述，至今被認為是數論中最重要的論文之一。

自發表以來，黎曼的論文一直是質數理論的主要焦點，也是1896年質數定理證明的主要原因。此後又發現了一些新的證明，包括塞爾伯格的基本證明。然而，黎曼關于 ζ函數根的假說仍然是一個謎。

讓我們從簡單的開始。我們都知道一個數要麼是質數，要麼是合數。所有合數都是由質數組成的，并且可以分解為質數乘積。公元前300年，歐幾裡得(就證明了它們的數量是無限的。證明過程非常經典，本篇文章就不再贅述。

即使對素數的算術性質進行了大量的研究，人們仍然對其知之甚少。科學界對我們缺乏理解質數行為的能力非常自信，以至于大數的因式分解是加密理論的基礎之一。以下是一種看待它的方式。

我們很了解合數，它們是由素數組成的，很容易地寫出一個公式來預測合數。最著名的例子是公元前200年的“埃拉托斯尼篩子”。它所做的，就是簡單地标記每個質數的倍數直到一個限定。取質數2，标記4、6、8、10，以此類推。接着，取3，标記6、9、12、15，以此類推。剩下的隻有質數。雖然很容易理解，但埃拉托斯提尼的篩子不是很有效。

有一個函數極大地簡化了工作，那就是6n /- 1。這個簡單的函數取出除2和3之外的所有素數。代入n = 1、2、3、4、5、6、7，結果是，5、7、11、13、17、19 、23 25、29、31、35、37、41、43。函數生成的唯一非素數是25和35，它們分别可以被因式分解成5 x 5和5 x 7。下一個非素數是，49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11等等。

為了直觀地說明這一點，我使用了一種我稱之為“組合階梯”的東西，這是一種簡單的方法，可以看到函數生成的合數是如何為每個質數布局和組合的。在下圖的前三列中，你可以清楚地看到質數5、7和11，它們各自的組合階梯達到并包括91。第四列的混亂顯示了篩子是如何除去除了質數之外的所有數的，這很好地說明了為什麼質數如此難以理解。

那麼這些和黎曼假說有什麼關系呢？簡單地說，為了更多地了解質數，19世紀的數學家們不再試圖絕對肯定地預測質數的位置，而是開始把質數作為一個整體來研究。這種分析方法是黎曼的拿手之處，也是他著名的假說産生的地方。然而，在我解釋它之前，有必要熟悉一些基本的概念。

調和級數是一個無窮數列，最早由尼古拉斯·奧雷斯姆在14世紀進行研究的。它的名字與音樂中的和聲的概念有關。該系列的内容如下：

• 無窮次調和級數的第一項

這個和被奧瑞斯姆證明是發散的。

調和級數是ζ函數的特例。對于r和n兩個實數，給出了如下函數：

代入n = 1，得到一個發散的調和級數。然而，對于所有n > 1，級數是收斂的。

歐拉證明了ζ函數與質數之間的第一個聯系，對于n和p兩個自然數，其中p是質數：

• 歐拉積公式，其中n, p都大于零且p是質數

這個表達最早出現在1737年的一篇題為《關于無窮級數的觀察》的論文中。這個表達式表明，ζ函數的和等于：

這種驚人的聯系奠定了現代質數理論的基礎，從這一點開始，用ζ函數ζ(s)作為研究質數的一種方法。

歐拉從一般的ζ函數開始

首先，兩邊同時乘以第二項：

然後從ζ函數中減去結果表達式：

重複這個過程，然後兩邊乘以第三項：

然後用函數減去結果的表達式：

重複這個過程直到無窮大，最後隻剩下表達式：

歐拉構造的是一個篩子，很像埃拉托色尼的篩子。他把非質數從函數中過濾掉了。

然後将表達式除以所有素數倒數項，得到：

• 函數與質數的函數關系

簡化後得到：

• 歐拉積公式，表示素數和函數之間聯系的恒等式

代入s = 1，求無窮次調和級數，再一次證明素數有無窮多個。

奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯後來重寫了歐拉積公式，創造了一個新的和。除了包含素數的倒數，莫比烏斯函數還包含所有素數因子的奇數和偶數乘積的自然數。他的級數中剩下的數是那些除以某個質數平方的數。其和，用μ(n)表示為：

• 莫比烏斯函數，歐拉乘積公式的修改版本，定義為所有自然數

和包含以下的倒數：

• 每一個質數；
• 每一個自然數，它是由奇數個不同素數的乘積，前面加一個減号；
• 以加每一個自然數，它是偶數和不同素數的乘積，前面加一個加号。

以下是第一項：

這個和不包含可以除以某個素數平方的數的倒數，例如4、8、9等等。

莫比烏斯函數μ(n)隻接受三個可能的值：

• 莫比烏斯函數μ(n)的三個可能值

雖然最初由莫比烏斯正式定義，早在莫比烏斯定義的30多年前，高斯就在一篇旁注中對這個古怪的總和進行了深入的研究，他寫道：

素數p的所有原始根的和是≡0，或≡±1，如果數是偶數，符号是正的，如果數是奇數，符号是負的。

素數計數函數

回到質數。為了理解質數在數軸上的分布情況。由高斯引入的質數計數函數π(x)就是這樣做的，它給出了小于或等于給定實數的質數的數量。由于沒有找到質數公式，我們隻知道質數計數公式是一個圖。下圖顯示了x = 200時的函數。

• 質數計數函數π(x)，x 取到200。

素數定理

質數定理也由高斯和勒讓德獨立發表：

用當x趨于無窮時，質數計數函數π(x)将逼近函數x/ln(x)，兩者之間的比率将接近1。當x = 1000時，兩個函數如下圖所示：

在概率方面，質數定理指出，如果你随機選擇一個自然數x，這個數成為質數的概率P(x)大約是1 / ln(x)。這意味着前x個整數中連續素數之間的平均差約為ln(x)。

對數積分函數

函數Li(x)定義為除x = 1外的所有正實數。它由2到x的積分定義：

• 對數積分函數的積分表示

将這個函數與質數計數函數和質數定理的公式畫在一起，我們可以看到Li(x)實際上是一個比x/ln(x)更好的近似：

• 對數積分函數Li(x)，素數計數函數π(x)和x/ln(x)一起繪制。

這是一個多麼好的近似值，如果我們做一個x值的表，可以看出：

• 在給定的十次幂以内的素數數目以及這兩種估計的相應誤差項

從這裡可以很容易地看出，對數積分函數的近似值遠遠優于質數定理中的函數，僅在x = 10的14次方時“超調”了314,890個質數。然而，這兩個函數都收斂于質數計數函數π(x)。Li(x)要快得多，但當x趨于無窮時，質數計數函數與Li(x)和x/ln(x)之間的比值趨于1。可視化為：

γ函數

自從丹尼爾·伯努利和克裡斯蒂安·哥德巴赫在1720年代研究了将階乘函數擴展到非整數參數的問題以來，γ函數 Γ(z)一直是一個重要的研究對象。它是階乘函數n!向下移動1：

它的圖形很奇怪：

γ函數Γ(z)被定義為z大于零的所有複值。複數使數學家和工程師能夠計算和解決普通實數無法解決的問題。從視覺上看，複數将傳統的一維“數軸”擴展為二維的“數平面”，稱為複數平面，複數的實部繪制在x軸上，虛部繪制在y軸上。

為了能夠使用γ函數Γ(z)，它通常被重寫為這種形式：

利用這個等式，我們可以得到z < 0的值。然而，它沒有給出負整數的值，因為它們沒有定義（從技術上講，它們是奇點）。

ζ和γ

ζ函數和γ函數之間的聯系由以下積分給出：

波恩哈德·黎曼

我們已經掌握了必要的基礎知識，我們終于可以開始把質數和黎曼假設聯系起來了。

德國數學家伯恩哈德·黎曼于1826年出生于布雷斯倫茨。作為高斯的學生，黎曼發表了很多分析和幾何領域的著作。他最大的貢獻可能是在微分幾何領域，在那裡他奠定了幾何語言的基礎，後來用于愛因斯坦的廣義相對論。

他在數論方面唯一的成就是1859年發表的論文《論小于給定數量級的質數》被認為是該領域最重要的論文。在短短的四頁裡，他概述了：

• 複值ζ函數ζ(s)的定義；
• zeta函數對所有複數s≠1的解析延拓；
• 黎曼函數ξ(s)的定義，是通過γ函數與黎曼ζ函數關聯的一個完整函數；
• 黎曼ζ函數的泛函方程的兩個證明；
• 利用素數計數函數和莫比烏斯函數定義黎曼素數計數函數J(x)
• 利用黎曼素數計數函數求素數數目小于給定數的顯式公式。

這是一項令人難以置信的壯舉，這種壯舉可能在那之後就再也沒有見過了。

黎曼ζ函數

我們已經在歐拉的乘積公式中看到了質數和函數之間的密切關系。然而，除了這種聯系之外，人們對它們之間的關系知之甚少，隻有發明複數才能明确地表明它們之間的聯系。

黎曼首先考慮了複變量s的ζ函數ζ(s)，其中s = σ it。

• 其中s = σ it是一個複數，其中σ和t都是實數。

黎曼ζ函數ζ(s)是一個對所有實部大于1（Re(s) > 1）的複數都是解析的（有定值）的無窮級數。在這個區域，它是絕對收斂的。

為了在正則收斂區以外的區域分析函數（當複變量s的實部大于1時），需要重新定義函數。黎曼通過解析延拓半平面上Re(s) > 0上的絕對收斂函數成功地做到了這一點。

• 黎曼ζ函數的重寫形式，其中{x} = x - |x|

這個函數的新定義在半平面Re(s) > 0中處處是解析的;0，除了在s = 1處存在奇點。這在這個定義域内稱為亞純函數，因為它是全純的（在其定義域内每個點的鄰域内複可微），除了在奇點s = 1處。它也是狄利克雷l函數的一個很好的例子。

在他的論文中，黎曼并沒有止步于此。他繼續用γ函數 Γ(z)來分析他的ζ函數ζ(s)到整個複平面。為了保持本文的簡單性，我不會在這裡展示這個計算，但我強烈建議你自己閱讀它，因為它非常好地展示了黎曼非凡的直覺和技術。

他的方法利用了“Γ(z)對于複數變量的積分表示”和“一個叫做雅克比ϑ函數ϑ(x)”的東西：

• 整個複平面的泛函方程，除了在s = 0和s = 1處的兩個奇點

在這種形式下，我們可以看到ψ(s)項比x的任何次幂下降得更快，因此積分對s的所有值都收斂。

更進一步，黎曼注意到，如果用1 - s替換s，大括号中的第一項（-1 / s(1 - s) ）是不變的。

• 黎曼xi函數ξ(s)

黎曼ζ函數的零點

當ζ(s)=0時，ζ函數的根可以分為兩種類型，它們被稱為黎曼ζ函數的“平凡”零點和“非平凡”零點。

實部Re(s) < 0的零的存在性

平凡零點是很容易找到并解釋的。它們在以下 ζ函數的函數形式中最容易被注意到：

• 黎曼泛函 ζ方程的一個變分

當sin項變為0時，這個乘積變為0。例如，對于一個負偶數s = -2n，函數變為0。然而，對于正偶數s = 2n, 0被γ函數Γ(z)的極點抵消了。這在原始的函數形式中更容易看出來，如果你代入s = 2n，這一項的第一部分就沒有定義。

黎曼函數在每一個負偶數s = -2n處都是0。這些是平凡零，它們可以在下面的函數圖中看到：

實部為Re(s) >的零點的存在性

由歐拉積公式可以看出，在s的實部大于1的區域，ζ(s)不可能為零，因為一個收斂的無窮積隻有當其中一個因子為零時才可能為零。質數無限大的證明否定了這一點。

實部0≤Re(s)≤1的零點的存在性

我們已經找到了Re(s) < 0時，在負半平面上的零點，并且說明了說明在區域Re(s) >1中不可能有任何零點。

然而，在這兩個區域之間的區域，被稱為臨界地帶，是解析數理論在過去幾百年裡主要關注的地方。

• 黎曼ζ函數ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 60區間内實部和虛部的曲線圖

在上面的圖中，我用紅色标出了ζ(s)的實部，用藍色标出了虛部。當s的實部為-2和-4時我們可以看到左下角的前兩個零點。在0和1之間，我已經标出了臨界地帶，并标出了ζ的實部和虛部相交的地方。這些是非平凡零點的黎曼函數。在更高的值中，我們看到更多的0，以及兩個看似随機的函數，随着s的虛部變大，它們的密度也越來越大。

• 黎曼ζ函數ζ(s)在-5 < Re < 2，0 < Im < 120區間内實部和虛部的曲線圖

黎曼Xi函數

我們定義了黎曼Xi函數ξ(s)為：

• 黎曼Xi函數（無奇點）

這個函數滿足這個關系：

• 黎曼函數正負值之間的對稱關系

即函數是關于垂直線Re(s) = 1/2對稱的，ξ(1) = ξ(0)， ξ(2) = ξ(-1)，依此類推。這個函數關系結合歐拉積公式表明，黎曼xi函數ξ(s)在0≤Re(s)≤1範圍内隻能有0點。黎曼函數的零點就是黎曼函數的非平凡零點。從某種意義上說，黎曼ζ函數ζ(s)的臨界線R(s) = 1/2對應于黎曼函數ξ(s)的實線Im(s) = 0。

看看上面的兩個圖，你應該馬上注意到這樣一個事實，黎曼ζ函數ζ(s)的所有非平凡零的實部Re(s)等于1/2。黎曼在他的論文中簡要地點出了這一現象，這一短暫的評論最終成為他最偉大的遺産之一。

黎曼假設

黎曼ζ函數ζ(s)的非平凡零點有實部Re(s) = 1/2。

這是黎曼在他的著名論文中提出的未經證實的猜想的現代表述。也就是說，在0≤Re(s)≤1的臨界帶中，ζ為0，ζ(s) = 0的點都有實部Re(s) = 1/2。若為真，所有的非平凡零點均為ζ(1/2 it)的形式。

一個等價的表述（黎曼的實際表述）是:黎xi 曼函數ξ(s)的所有根都是實的。

在下圖中，Re(s) = 1/2是橫軸。ζ(s)的實部Re(s)為紅色圖，虛部Im(s)為藍色圖。非平凡零點是水平線上紅藍圖的交點。

• 黎曼函數在Re(s) = 1/2直線上的第一個非平凡零。

如果黎曼假設成立，函數的所有非平凡零點将出現在這條線上，作為兩個圖之間的交點。

相信黎曼假設的理由

有很多理由相信關于ζ函數零點的黎曼假說的真實性。也許對數學家來說最令人信服的原因是它對質數分布的影響。假設的數值驗證非常高，表明它是正确的。事實上，這個假設的數字證據足夠強大，可以被認為是在其他領域如物理和化學的實驗驗證。

黎曼ζ函數和質數

以黎曼假設的真理為出發點，黎曼開始研究其結果。他在論文中寫道，

……很可能所有的根都是實數。當然，這裡需要一個嚴格的證明，經過幾次短暫而徒勞的嘗試後，我暫時把對它的尋找放在一邊，因為它對于我的下一個目标似乎是無關緊要的。

他的下一個目标是把 ζ函數的零點和質數聯系起來。

回想一下素數計數函數π(x)，它表示在實數x以下的素數的個數。黎曼用π(x)定義了自己的素數計數函數，黎曼素數計數函數J(x)，定義為：

• 黎曼素數計數函數

關于這個函數首先要注意的是它不是無限的。在某一項，計數函數将為零，因為x < 2沒有質數。因此，以J(100)為例，函數将由7個項組成，因為8項将包含100的8個根，大約等于1.778279。所以這個質數計數項變成0，和變為J(100) = 28.5333....

與素數計數函數一樣，黎曼素數計數函數J(x)是一個階梯函數，當：

• 黎曼素數計數函數J(x)的可能值

​為了将J(x)的值與在x之前（包括x）有多少素數聯系起來，我們通過一個稱為莫比烏斯反演的過程恢複素數計數函數π(x)。結果表達式為：

• 素數計數函數π(x)及其與黎曼素數計數函數和莫比烏斯函數μ(n)的關系

​請記住莫比烏斯函數的可能值是：

這意味着我們現在可以把質數計數函數寫成黎曼質數計數函數的函數，得到：

這個新表達式仍然是一個有限和，因為當x < 2時J(x)是零，因為沒有小于2的素數。

如果我們現在看一下J(100)的例子，我們得到了和：

• x = 100的質數計數函數

也就是小于100的質數的個數。

翻譯歐拉積公式

接着，黎曼以歐拉積公式為起點，用微積分推導出一種解析求質數的方法。從歐拉開始：

• 前五個素數的歐拉積公式

​他先對兩邊取對數，然後把分母改寫在括号裡，得出關系式：

• 歐拉積公式的對數

​接下來，他使用著名的麥克勞林泰勒級數，展開右邊的每一個對數項，創建一個無限和的無限和，每個質數級數的一項。

• 歐拉積公式對數前四項的泰勒展開

下面的表達：

• 1/3^s的麥克勞林展開式的第二項

​這一項和計算中的其他每一項都代表了J(x)函數下的部分面積。寫成積分形式：

• 1/3^s的麥克勞林展開式中第二項的積分形式

​換句話說，利用歐拉積公式，黎曼證明了離散素數計數階梯函數可以表示為積分的連續和。下面我們的例子項顯示為黎曼素數計數函數圖下的部分區域。

• 黎曼素數計數函數J(x)，x取到50，突出兩個積分

對于質數3，積分的無窮積是：

将所有這些無窮和集合成一個積分，黎曼素數計數函數J(x)下的積分可以簡單地寫成：

或者是更流行的形式：

• 歐拉積公式的現代等效，連接了ζ函數和黎曼素數計數函數

黎曼将ζ函數ζ(s)與黎曼素數計數函數J(x)用微積分的語言寫成等價于歐拉積公式的恒等式。

在得到歐拉積公式的解析版本後，黎曼接着闡述了他自己的素數定理。他給出的明确形式是：

• “黎曼素數定理”猜測給定大小x下素數的數目

這是黎曼的顯式公式。它是質數定理的改進，更準确地估計在x以下有多少素數存在。

1. 第一項，是對數積分Li(x)，它是素數定理中素數計數函數π(x)的較好估計。它是迄今為止最大的一項，就像我們之前看到的，它高估了在給定值x之前有多少個質數。
2. 第二項，或“周期項”是對x的ρ次方的對數積分的和，對ρ求和，這是黎曼ζ函數的非平凡零點。
3. 第三個是常數-log(2) = -0.6993147…
4. 第四項，也就是最後一項是x < 2時的積分為0，因為沒有小于2的質數。其最大值為2，其積分約等于0.1400101....

當x變大時，後兩項對函數值的貢獻是無窮小的。大數的主要“貢獻者”是對數積分函數和周期和。請看下面的圖表：

在上面的圖表中，我已經用黎曼素數計數函數J(x)的顯式公式來近似質數計數函數π(x)，并對黎曼ζ(s)的前35個非平凡零求和。我們看到周期項使函數“共振”，并開始接近素數計數函數π(x)的形狀。

下面你可以看到相同的圖表，使用了更多的非平凡零點。

使用黎曼的顯式函數，我們可以非常精确地近似出素數的數目，直到并包括給定的數字x。事實上，馮·科赫在1901年證明，利用黎曼zeta函數的非平凡零點對對數積分函數進行誤差修正，等同于素數定理中誤差項的“最佳可能”界。

​後記

1866年，黎曼（39歲）去世，自那以後，他的開創性論文一直是素數和解析數論領域的裡程碑。直到今天，黎曼關于黎曼 ζ函數非平凡零點的假設仍然沒有得到解決，盡管許多偉大的數學家進行了數百年的廣泛研究。每年都有大量與該假說相關的新結果和猜想被發表，人們希望有一天能找到确鑿的證據。

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