作函數圖像的一般步驟：1、求函數的定義域；2、考察函數的奇偶性、周期性；3、求函數的某些特殊點，如與兩個坐标軸的交點，不連續點，不可導點等；4、确定函數的單調區間，極值點，凸性區間以及拐點；5、考察漸近線；6、畫出函數圖象。
練習：按函數作圖的一般步驟，作f(x)=xe^(-x)的圖像.
請動手畫一畫這個函數的圖像。
分析：函數在R上可導，不存在奇偶性和周期性。因為f(0)=0，所以函數的曲線過原點。
求函數的一階導數：f'(x)=e^(-x)-xe^(-x)=(1-x)e^(-x). 當f'(x)=0時，x=1. 也就是說函數有唯一的穩定點x=1. 下面分析函數在穩定點兩側的單調性。
當x<1時，f'(x)>0，原函數單調遞增；當x>1時，f'(x)<0，原函數單調減。函數在x=1兩側，左增右減，說明(1,e^(-1))是函數的極大值點。由于函數在R上可導，所以并不存在其它極值點。
繼續求二階導數，以判斷函數的凸性區間，并找到可能存在的拐點。
f"(x)=-e^(-x)-(1-x)e^(-x)=(x-2)e^(-x). 當x<2時，f"(x)<0，曲線在這個區間上是上凸的；當x>2時，f"(x)>0，曲線在這個區間上是下凸的，也就是凹的。
函數在點x=2兩側凸性不同，且在這一點連續，因此點(2,2e^(-2))是函數的拐點。
觀察發現， 函數并不存在豎直的漸近線。那就設函數有斜的漸近線y=ax b，由求漸近線參數的極限公式，有：
a=lim(x->∞)(f(x)/x)=lim(x->∞)e^(-x)=0. 這說明，函數有一條水平的漸近線。注意，當a=0時，函數就有一條水平的漸近線。但我們求的時候，還是把它當作斜的漸近線去求的。其實豎直漸近線也可以用這種方法求得的。
b=lim(x->∞)(f(x)-ax)=lim(x->∞)xe^(-x)=0. 所以函數有一條水平的漸近線y=0.
綜上，函數的圖像性态可以概括如下表：
可以看到，函數有兩個關鍵點，極大值點x=1和拐點x=2, 将函數的定義域劃分成三個區間。最左邊的區間上，函數上凸且單調遞增；在中間的區間上，函數上凸且單調遞減；在右邊的區間上，函數下凸且單調遞增。不要忘了曲線還過原點。
綜合這所有的信息，結合函數的漸近線，作得函數的圖像如下圖：
和你所做的圖像是否一樣呢？
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