三角形的内角和為180°，應用三角形内角和定理可以解決以下三類問題：①在三角形中已知任意兩個角的度數可以求出第三個角的度數；②已知三角形三個内角的關系，可以求出其内角的度數；③求一個三角形中各角之間的關系。

三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角叫做三角形的外角，外角的特征：①頂點在三角形的一個頂點上；②一條邊是三角形的一邊；③另一條邊是三角形某條邊的延長線。三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個内角的和，三角形的一個外角大于任意一個與它不相鄰的内角。

因為三角形的每個外角與它相鄰的内角是鄰補角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三個外角和是360°。

例題1：在△ABC中，已知∠A ∠B＝80°，∠C＝2∠B，試求∠A，∠B和∠C的度數．

分析：題中給出兩個條件：∠A ∠B＝80°，∠C＝2∠B，再根據三角形的内角和等于180°，即∠A ∠B ∠C＝180°就可以求出∠A，∠B和∠C的度數．

解：由∠A ∠B＝80°及∠A ∠B ∠C＝180°，

∴∠C＝100°．

又∵ ∠C＝2∠B，

∴ ∠B＝50°．

∴ ∠A＝80°-∠B＝80°-50°＝30°．

解答本題的關鍵是利用隐含條件∠A ∠B ∠C＝180°．本題可以設∠B＝x，則∠A＝80°-x，∠C＝2x建立方程求解．

例題2：（1）如圖，AB和CD交于點O，求證：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．

典型的“X”模型（或“8”字模型），可利用外角或平行線進行證明。

方法一：

解：如圖，在△AOC中，∠COB是一個外角，由外角的性質可得：∠COB＝∠A＋∠C，

同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，

所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．

方法二：過A作AE∥BD，過C作CF∥BD，則CF∥AE，即可得出∠D ∠B=∠OAE ∠OCF，再根據平行線的性質，即可得出∠CAO ∠C=∠B ∠D；

解：如圖，過A作AE∥BD，過C作CF∥BD，則CF∥AE，

∴∠OAE=∠B，∠OCF=∠D，

∴∠D ∠B=∠OAE ∠OCF，

又∵CF∥AE，∴∠ACF=∠CAE，

∴∠OCF=∠OCA ∠ACF=∠OCA ∠CAE，

∴∠D ∠B=∠OAE ∠OCA ∠CAE=∠A ∠C.

（2）如圖，求證：∠D=∠A＋∠B ∠C．

典型的飛镖模型（燕尾模型），利用三角形的外角性質進行證明。

解：如圖，延長線段BD交線段于點E,

在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；

在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，

将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C．

也可以連接AD并将其進行延長，同樣利用外角的性質進行證明。

例題3：已知如圖∠xOy=90°，BE是∠ABy的平分線，BE的反向延長線與∠OAB的平分線相交于點C，當點A，B分别在射線Ox，Oy上移動時，試問∠ACB的大小是否發生變化？如果保持不變，請說明理由；如果随點A，B的移動而變化，請求出變化範圍．

解：∠C的大小保持不變．理由：

∵∠ABY=90° ∠OAB，AC平分∠OAB，BE平分∠ABY，

∴∠ABE=1/2∠ABY=1/2（90° ∠OAB）=45° 1/2∠OAB，

即∠ABE=45° ∠CAB，

又∵∠ABE=∠C ∠CAB，

∴∠C=45°，

故∠ACB的大小不發生變化，且始終保持45°．

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