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定積分計算題及答題方法

教育 更新时间:2024-11-11 12:59:14

2013年湖南高考數學文科第四題是一道涉及函數奇偶性的題目,題目如下:

定積分計算題及答題方法(從一道涉及函數奇偶性的高考題看定積分的一種計算技巧)1

這道題目考察了函數奇偶性的基本性質,屬于基礎題。現在高一講到函數奇偶性時有的練習題就是以這題為背景,而且可能還會總結到奇函數和偶函數相加既不是奇函數也不是偶函數。其實,這個奇函數加偶函數包含着微積分中定積分的一種計算技巧。

我們知道,給定一個函數h(x),當該函數定義域關于原點對稱的時候,可以把這個函數寫成一個奇函數和偶函數之和,如下:

定積分計算題及答題方法(從一道涉及函數奇偶性的高考題看定積分的一種計算技巧)2

這樣當求一類積分上下限關于原點對稱的函數的定積分時,可以把這個函數拆成一個奇函數和一個偶函數的和,由于奇函數的定積分為0,而偶函數可以求單側定積分然後乘以2,這樣便能計算出結果。下面給出一個這樣的題目:

定積分計算題及答題方法(從一道涉及函數奇偶性的高考題看定積分的一種計算技巧)3

解法如下:

定積分計算題及答題方法(從一道涉及函數奇偶性的高考題看定積分的一種計算技巧)4

定積分計算題及答題方法(從一道涉及函數奇偶性的高考題看定積分的一種計算技巧)5

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