什麼是感知機「Perceptron」

PLA全稱是Perceptron Linear Algorithm，即線性感知機算法，屬于一種最簡單的感知機（Perceptron）模型。

感知機模型是機器學習二分類問題中的一個非常簡單的模型。它的基本結構如下圖所示：

其中，x

i

xi是輸入，w

i

wi表示權重系數，b

b表示偏移常數。感知機的線性輸出為：

scores=∑

i

N

w

i

x

i

b

scores=∑iNwixi b

為了簡化計算，通常我們将b

b作為權重系數的一個維度，即w

0

w0。同時，将輸入x

x擴展一個維度，為1。這樣，上式簡化為：

scores=∑

i

N 1

w

i

x

i

scores=∑iN 1wixi

scores

scores是感知機的輸出，接下來就要對scores

scores進行判斷：

• 若scores≥0
• scores≥0，則y
• ^
• =1
• y^=1（正類）
• 若scores<0
• scores<0，則y
• ^
• =−1
• y^=−1（負類）

以上就是線性感知機模型的基本概念，簡單來說，它由線性得分計算和阈值比較兩個過程組成，最後根據比較結果判斷樣本屬于正類還是負類。

PLA理論解釋

對于二分類問題，可以使用感知機模型來解決。PLA的基本原理就是逐點修正，首先在超平面上随意取一條分類面，統計分類錯誤的點；然後随機對某個錯誤點就行修正，即變換直線的位置，使該錯誤點得以修正；接着再随機選擇一個錯誤點進行糾正，分類面不斷變化，直到所有的點都完全分類正确了，就得到了最佳的分類面。

利用二維平面例子來進行解釋，第一種情況是錯誤地将正樣本（y=1）分類為負樣本（y=-1）。此時，wx<0

wx<0，即w

w與x

x的夾角大于90度，分類線l

l的兩側。修正的方法是讓夾角變小，修正w

w值，使二者位于直線同側：

w:=w x=w yx

w:=w x=w yx

修正過程示意圖如下所示：

第二種情況是錯誤地将負樣本（y=-1）分類為正樣本（y=1）。此時，wx>0

wx>0，即w

w與x

x的夾角小于90度，分類線l

l的同一側。修正的方法是讓夾角變大，修正w

w值，使二者位于直線兩側：

w:=w−x=w yx

w:=w−x=w yx

修正過程示意圖如下所示：

經過兩種情況分析，我們發現PLA每次w

w的更新表達式都是一樣的：w:=w yx

w:=w yx。掌握了每次w

w的優化表達式，那麼PLA就能不斷地将所有錯誤的分類樣本糾正并分類正确。

數據準備

導入數據

數據集存放在’../data/’目錄下，該數據集包含了100個樣本，正負樣本各50，特征維度為2。

import numpy as np import pandas as pd data = pd.read_csv('./data/data1.csv', header=None) # 樣本輸入，維度（100，2） X = data.iloc[:,:2].values # 樣本輸出，維度（100，） y = data.iloc[:,2].values 1 2 3 4 5 6 7 8

數據分類與可視化

下面我們在二維平面上繪出正負樣本的分布情況。

import matplotlib.pyplot as plt plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive') plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative') plt.xlabel('Feature 1') plt.ylabel('Feature 2') plt.legend(loc = 'upper left') plt.title('Original Data') plt.show() 1 2 3 4 5 6 7 8 9

PLA算法

特征歸一化

首先分别對兩個特征進行歸一化處理，即：

X=X−μ

σ

X=X−μσ

其中，μ

μ是特征均值，σ

σ是特征标準差。

# 均值 u = np.mean(X, axis=0) # 方差 v = np.std(X, axis=0) X = (X - u) / v # 作圖 plt.scatter(X[:50, 0], X[:50, 1], color='blue', marker='o', label='Positive') plt.scatter(X[50:, 0], X[50:, 1], color='red', marker='x', label='Negative') plt.xlabel('Feature 1') plt.ylabel('Feature 2') plt.legend(loc = 'upper left') plt.title('Normalization data') plt.show() 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

直線初始化

# X加上偏置項 X = np.hstack((np.ones((X.shape[0],1)), X)) # 權重初始化 w = np.random.randn(3,1) 1 2 3 4

顯示初始化直線位置：

# 直線第一個坐标（x1，y1） x1 = -2 y1 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 w[1] * x1) # 直線第二個坐标（x2，y2） x2 = 2 y2 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 w[1] * x2) # 作圖 plt.scatter(X[:50, 1], X[:50, 2], color='blue', marker='o', label='Positive') plt.scatter(X[50:, 1], X[50:, 2], color='red', marker='x', label='Negative') plt.plot([x1,x2], [y1,y2],'r') plt.xlabel('Feature 1') plt.ylabel('Feature 2') plt.legend(loc = 'upper left') plt.show() 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

由上圖可見，一般随機生成的分類線，錯誤率很高。

計算scores，更新權重

接下來，計算scores，得分函數與阈值0做比較，大于零則y

^

=1

y^=1，小于零則y

^

=−1

y^=−1

s = np.dot(X, w) y_pred = np.ones_like(y) # 預測輸出初始化 loc_n = np.where(s < 0)[0] # 大于零索引下标 y_pred[loc_n] = -1 1 2 3 4

接着，從分類錯誤的樣本中選擇一個，使用PLA更新權重系數w

w。

# 第一個分類錯誤的點 t = np.where(y != y_pred)[0][0] # 更新權重w w = y[t] * X[t, :].reshape((3,1)) 1 2 3 4

叠代更新訓練

更新權重w

w是個叠代過程，隻要存在分類錯誤的樣本，就不斷進行更新，直至所有的樣本都分類正确。（注意，前提是正負樣本完全可分）

for i in range(100): s = np.dot(X, w) y_pred = np.ones_like(y) loc_n = np.where(s < 0)[0] y_pred[loc_n] = -1 num_fault = len(np.where(y != y_pred)[0]) print('第-次更新，分類錯誤的點個數：-' % (i, num_fault)) if num_fault == 0: break else: t = np.where(y != y_pred)[0][0] w = y[t] * X[t, :].reshape((3,1)) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

叠代完畢後，得到更新後的權重系數w

w，繪制此時的分類直線是什麼樣子。

# 直線第一個坐标（x1，y1） x1 = -2 y1 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 w[1] * x1) # 直線第二個坐标（x2，y2） x2 = 2 y2 = -1 / w[2] * (w[0] * 1 w[1] * x2) # 作圖 plt.scatter(X[:50, 1], X[:50, 2], color='blue', marker='o', label='Positive') plt.scatter(X[50:, 1], X[50:, 2], color='red', marker='x', label='Negative') plt.plot([x1,x2], [y1,y2],'r') plt.xlabel('Feature 1') plt.ylabel('Feature 2') plt.legend(loc = 'upper left') plt.show() 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

其實，PLA算法的效率還算不錯，隻需要數次更新就能找到一條能将所有樣本完全分類正确的分類線。所以得出結論，對于正負樣本線性可分的情況，PLA能夠在有限次叠代後得到正确的分類直線。

總結與疑問

這裡導入的數據本身就是線性可分的，可以使用PCA來得到分類直線。但是，如果數據不是線性可分，即找不到一條直線能夠将所有的正負樣本完全分類正确，這種情況下，似乎PCA會永遠更新叠代下去，卻找不到正确的分類線。

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