“做面包”是你在廚房裡能做的最數學化的事情之一，這遠不止量出配料這麼簡單。當你折疊和壓縮面團時，你正在進行拓撲變形。揉捏的動作構成了一個在混沌理論中被稱為貝克圖（Baker’s Map）的操作，在這個操作中，一個動力系統的混合從一個系統的映射到它自身，并多次進行。

混合是一種混亂，但不是随機的行為。它的發生是因為系統中的非線性自相互作用，導緻系統完全重塑自己，經過足夠多的疊代，系統物質的每一種可能的組合都會出現。這對于稱為遍曆理論的數學物理領域是至關重要的，遍曆理論是統計物理的基礎。當然，這并非沒有約束。原子不會發生核聚變或擴散到數光年之外，除非那是你定義系統的一部分。然而，混合會确保面團不僅達到最大熵，而且在足夠的時間内，面團中龐大數量的分子總數會經曆所有可能的排列。

• 貝克圖

在我們的宇宙中，混合是最基本的形式之一，遠遠超過了随機性。這是什麼意思？

其基本理念是，一個被執行無數次的貝克圖完全沒有可預測性，所有組件都被完全打亂，從而成為随機的。

當你在确定性過程中加入一個像這樣的随機過程時，就會産生随機系統，就像擺動的彈簧或滾下山的球。确定性過程提供了整體運動，而随機性提供了運動的統計分布。随機系統中的随機性取決于所涉及的長度範圍，但大多數系統都有一些随機行為。

混沌混合和随機性之間的關系是所有統計物理的基礎，但我認為混沌混合實際上是更基礎的。原因是我們知道至少對于像氣體這樣的經典系統分子是基本單位。因此，混亂的混合不會發生在分子水平以下。相反，分子的熱行為是由動能和碰撞其他分子的組合産生的。在分子模型和實驗測量之間有很好的一緻性。

在這個小尺度上，兩個(或更多)分子的相互作用是确定的和混亂的，而不是随機的。因此，我們與随機性聯系在一起的特征來自确定性混沌，而不是真正的随機性。

統計物理學的另一個有趣特征是，随機性并不是做出預測的關鍵因素。它通常用于模拟和不可預測的熱波動，但如果基本成分不是随機的，而是簡單地混合，統計預測通常也能奏效。重要的是混合，因為混合會導緻元素在正确的時間内以正确的構型結束。

以溫度或壓力為例，這是統計過程的結果。對于溫度來說，重要的是分子在正确的位置提供了正确的能量來反映每個分子的平均動能。而且，正如我之前提到的，這種混合在本質上必須是分形的。你需要看到所有層次的混合發生，這樣，無論你的溫度計是怎樣的，你仍然會看到相同的平均溫度。但是當你看到分子的大小時，這就結束了。如果你的溫度計是以單個氣體粒子為刻度的，你就不能正确地測量它。

為什麼這很重要？

因為我相信宇宙從根本上來說不是随機的。上帝不擲骰子。相反，上帝是一個面包師，他從宇宙的尺度一直烤到普朗克長度。再小一點，烘焙就停止了。即使涉及到量子現象，一切都隻是烘焙，但在另一個維度，空間和時間本身被揉捏。

如果是這樣，那麼随機性就是一種幻覺，随機性的模型是混合的近似。

• 肯尼斯·威爾遜

諾貝爾獎獲得者肯尼斯·威爾遜，他可能是統計物理學和量子場理論中最偉大的英雄之一。他發展了一個關于長度尺度的理論，向我們展示了如何在特定的長度尺度上建模物理系統，并将這些尺度彼此關聯起來。從威爾遜的遺産中，我們得到了對随機系統的現代理解，特别是狀态變化，如水結冰或蒸發，或磁體磁化或退磁。

由此，我們可以理解為什麼物理系統不僅在一個長度尺度上混合，而是在所有長度尺度上混合，無論是一個分子大學或普朗克長度。正是由于這些系統在不同長度尺度上的“自相似性”，它們在不同尺度上的行為相似，但具有較強或較弱的自相互作用，這可能會使這些系統在一個尺度上或多或少地混合在一起。

例如，有些系統在大尺度上是平滑的，但在小尺度上卻是粗糙的。另一些則恰恰相反，在大尺度上是複雜和混亂的，但在小範圍上是簡單和容易預測的。

空氣在大尺度下的表現與在小尺度下的表現是截然不同的，這就是為什麼飛機可以用大的固定翼穿過空氣，而蒼蠅必須嗡嗡地穿過漩渦氣流。這和空氣的粘度有很大關系，有時和空氣的随機運動有關。

股票市場是另一個在長時間間隔比短時間間隔更容易預測的例子。這就是為什麼你可以投資指數基金，把你的錢投資10年，并且相當自信你會賺錢。

然而，一種尺度的混亂也會傳播到另一個尺度。這就是所謂的蝴蝶效應。威爾遜特别指出，試圖将不同尺度分離是愚蠢的。相反，我們必須将它們相互聯系起來，并處理這樣一種可能性，即我們感興趣研究的現象取決于所有長度範圍内發生的事情，而不僅僅是一個範圍。特别是當一個系統接近所謂的“臨界點”時，比如冰融化或磁鐵磁化，所有的尺度都會聚集在一起産生這種現象，引起級聯，以他們的方式上下波動，這樣就會發生一些神奇的事情，系統就會被改變。

同樣，在金融領域，小的變化可以影響大的趨勢，反之亦然，這樣就到達了市場崩潰或繁榮的臨界點。你永遠無法确定每一秒發生的事情不會爆發，不會影響每個月發生的事情。

所有這些都沒有假定随機性存在或不存在。相反，它隻是假設混合（随機或非随機）發生在許多不同的尺度和不同的速度。随機性對數學家和物理學家來說當然很方便，但不是必需的。

假設系統是随機的好處之一是，它可以除所有你不理解的外部因素。但作為世界運行的基本模型，随機性是站不住腳的。随機模型總是依賴于某種神秘的熵源。它們不允許系統是完全封閉和确定性的。随機性的另一個特征是它破壞了系統的一些很好的數學特性，比如可微性。

如果你有一個粒子，它是随機波動的，根據某種正态分布，它的運動是不可微的。原因是，在一段很小的時間内，它平均移動的距離與時間的平方根成正比。導數依賴于無限小的時間和距離成比例，所以它們中的微小量在比例中抵消。但随機性并非如此。除非随機性在一定長度範圍内神奇地消失，否則将陷入不可微分運動中。

這也是為什麼量子力學有非交換算符的原因，這些算符根據你應用它們的順序會給出不同的答案。這就是海森堡測不準原理的來源。

如果我們說系統從來都不是随機的，它們隻是因為内部的非線性自相互作用或與外力的無法解釋的相互作用而被混合，不是更簡單嗎？

也許是，也許不是。我們有整個分布理論來處理随機性。我們用算子微積分來處理随機性。我們不需要用複雜的，多尺度非線性混合運算來代替它來得到像可微性這樣的東西。

但是如果我們真的想要了解内部發生了什麼呢？我們可以加倍重視随機性，或者我們可以質疑它并嘗試着去理解它的局限性。

我在想，用林德布萊德方程來處理量子力學，這些方程式将随機性編入量子力學，以便解釋為什麼量子測量看起來是随機的。既然量子預測沒有它們也能正常工作，為什麼要引入它們呢，除非你想說上帝确實玩骰子？

如果上帝是面包師呢？

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