1．空間向量及其運算

（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐标表示.

（2）掌握空間向量的線性運算及其坐标表示.

（3）掌握空間向量的數量積及其坐标表示，能運用向量的數量積判斷向量的共線與垂直.

2．空間向量的應用

（1）理解直線的方向向量與平面的法向量.

（2）能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.

（3）能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理（包括三垂線定理）.

（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的應用.

一、空間直角坐标系及有關概念

1．空間直角坐标系

在空間直角坐标系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐标系為右手直角坐标系，如圖所示.

2．空間一點M的坐标

3．空間兩點間的距離公式、中點公式

4．空間向量的有關概念

二、空間向量的有關定理及運算

1.共線向量定理

對空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數λ，使得a＝λb.

牢記兩個推論：

2.共面向量定理

3.空間向量基本定理

如果三個向量a，b，c不共面，那麼對空間任一向量p，存在有序實數組{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量.

注意：（1）空間任意三個不共面的向量都可構成基底.

（2）基底選定後，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

（3）0不能作為基向量.

4.空間向量的運算

（1）空間向量的加法、減法、數乘及數量積運算都可類比平面向量.

（2）空間向量的坐标運算

三、利用空間向量解決立體幾何問題

1.直線的方向向量和平面的法向量

2.利用空間向量表示空間線面平行、垂直

3.利用空間向量求空間角

4.利用空間向量求距離

（1）兩點間的距離

考向一 空間直角坐标系

對于空間幾何問題，可以通過建立空間直角坐标系，把空間中的點用有序實數組(即坐标)表示出來,通過坐标的代數運算解決空間幾何問題，實現了幾何問題(形)與代數問題(數)的結合.

考向二 共線、共面向量定理的應用

考向三 利用向量法證明平行問題

1.證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行.

2.證明線面平行：

（1）該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

（2）證明該直線的方向向量與平面内某直線的方向向量平行；

（3）證明該直線的方向向量可以用平面内的兩個不共線的向量線性表示.

3.證明面面平行：兩個平面的法向量平行.

考向四 利用向量法證明垂直問題

1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數量積為零．

2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或将線面垂直的判定定理用向量表示．

3.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．

考向五 用向量法求空間角

1.用向量法求異面直線所成的角

（1）建立空間直角坐标系；

（2）求出兩條直線的方向向量；

2.用向量法求直線與平面所成的角

（1）分别求出斜線和它所在平面内的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；

（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其餘角就是斜線和平面所成的角．

3.用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然後通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．

考向六 用向量法求空間距離

1.空間中兩點間的距離的求法

兩點間的距離就是以這兩點為端點的向量的模．因此，要求兩點間的距離除使用距離公式外，還可轉化為求向量的模.

2. 求點P到平面α的距離的三個步驟：

考向七 用向量法求立體幾何中的探索性問題

1.通常假設題中的數學對象存在(或結論成立)，然後在這個前提下進行邏輯推理，若能推導出與條件吻合的數據或事實，說明假設成立，即存在，并可進一步證明；若推導出與條件或實際情況相矛盾的結論，則說明假設不成立，即不存在．

2.探索線段上是否存在點時，注意三點共線條件的應用，這樣可減少坐标未知量．

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