高數教材上有一道運用麥克勞林公式的練習題，要将lg11精确到10^(-5)。老黃在學習的過程中，發現教材給的參考答案并不十分嚴謹。為了使答案變得嚴謹，老黃可謂煞費苦心， 因此還探究了一個“倒數更精确原理”，并探究了ln10的十萬分位近似數。特别是“倒數更精确原理”的探究，沒少受聰明的網友們的奚落和鄙夷。不過這些都不能打擊老黃探究數學的熱情。下面老黃先介紹教材的解法，并指出其中不嚴謹的地方，然後再運用老黃探究的兩個結果，來使它變得更加嚴謹。

請運用麥克勞林逼近法，将lg11精确到10^(-5).

解：lg11=1 lg1.1=1 lge^(ln1.1)=lge*ln1.1,【先轉化成含有ln1.1的式子，通過求ln1.1的近似數，來得到lg11的近似數。因為直接求lg11的近似數，在這裡行不通，就是直接求lg1.1的近似數，也是相當麻煩的】

又ln(1 x)=x-x^2/2 …… (-1)^(n-1)x^n/n (-1)^nx^(n 1)/((n 1)(1 θx)),(0<θ<1,x>-1).【這是常用的麥克勞林公式之一，求對數的精确值，基本上都要轉化成這個公式的運用問題，當x=0.1時，得到的就是ln1.1, 而這裡的x取值一旦超過0.5，就會産生問題，因為x越大，需要取的n就越大，而一旦超過0.5，n就取不到适當的值】

當x=0.1時，要使|lgeRn(0.1)|<|(-1)^nx^(n 1)/((n 1)(1 θx))|<|0.1^(n 1)/(n 1)|<10^(-5), 【将一個數精确到10^(-5),其實指的就是它的餘項要小于10^(-5)】

隻要取n=5, 則lg11約=1 lge(0.1-0.01/2 0.001/3-0.0001/4 0.00001/5)約=1.04139. 【檢驗正确】

不知道您發現這個過程中不嚴謹的地方了沒有。那就是lge其實并不是一個已知的量，它也需要通過麥克勞林公式來求近似數。如果用計算器求，那不如直接用計算器求lg11. 如果要再次運用麥克勞林公式求lge，就相當麻煩，其難度遠超求ln1.1的近似數，而且精确度要怎麼保證呢？

其實lge是ln10的倒數，由于常用對數函數lgx的導函數中，分母包含系數ln10，所以求ln10的近似數對這類問題很重要。因此老黃覺得ln10應該當做一個常數來用。

老黃上一個視頻就求得ln10的近似數是2.30259. 因此lge的近似數是0.43429. 因為ln10>1，根據“倒數更精确原理”，lge的精确度比ln10更高。這就可以通過純筆算，計算出lg11精确到十萬分位的近似數了。

數學這個東西，它的精粹在于不斷地探究，而不在于評價問題的難易程度。所謂愚者千慮必有一得。老黃相信隻要繼續努力探究，總有一天會有所得的。

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