導讀：據說面對這個經典的條件概率問題，80%的人憑直覺做出了錯誤的選擇，然而他們卻堅信自己才是對的。

作者：徐晟

來源：華章科技

三門問題，又稱蒙提霍爾問題，出自20世紀美國電視節目《讓我們做筆交易》中主持人蒙提霍爾提出的一個問題。這個節目有一個緊張刺激的大獎選擇環節：參賽者要在三扇關着的門前做出選擇。門後分别藏着一輛汽車和兩隻山羊，如果參賽者打開了藏有汽車的門，就可以立即赢走汽車。

整個流程是這樣的：首先，參賽者選擇一扇門。随後，蒙提霍爾會打開剩餘兩扇門中的一扇，展示門後的山羊。在排除了一個錯誤選項後，參賽者有權選擇是否換門，一旦确定換門或放棄了換門機會，被選擇的門就會被打開，答案揭曉。

在整個過程中，引起民衆熱議和讨論的就是主持人的這個問題—參賽者是否應該選擇換門？改用統計學的問法：換門是否會增加赢走大獎的概率？

有人認為，既然已經打開了一扇門，那麼剩下兩扇門中是山羊和汽車，兩者出現的概率是一樣的，與節目之前的流程沒有任何關系。無論怎麼選擇，選對的概率都是二分之一。當時持有這種觀點的人不在少數，其中不乏來自數學或科學研究機構的專家和學者。

不過這個推論是錯的，因為主持人開門的動作并不是一個随機事件。由于主持人提前确認過門後的信息，因此他的開門事件符合條件概率。所謂條件概率，可以理解為它是某些特定條件下的概率。在三門問題中，這個“特定條件”是由主持人造成的，他開門的動作人為地産生了影響最終結果的信息。

如果你能理解這點，那麼讓我們重新從參賽者最初的選擇開始推演：如果參賽者一開始選中汽車，這個概率是1/3，那麼他選擇換門後，赢得大獎的概率是0。如果他一開始選中山羊，這個概率是2/3，那麼在排除了另一扇有山羊的門後，隻要選擇換門，他赢車的概率就是1。因此，無論如何他都該選擇換門，因為換門後他有2/3的概率赢走汽車。

關于到底是1/2還是2/3，在當時引發了民衆的激烈讨論。其中的關鍵就是，主持人是知道門後的信息的，他一定會有意地打開背後有山羊的那扇門。在這種情況下，換門後赢得汽車的概率就不是對半開。如果主持人随機打開一扇門，碰巧看到了山羊，那麼這時選擇換門赢車的概率才是1/2。

這個故事還有類似的案例。法國數學家貝特朗在他關于概率的書中提到了貝特朗盒悖論。他設想有3個盒子，一個盒子中有兩枚金币，另一個盒子有兩枚銀币，還有一個盒子中有一枚金币、一枚銀币。随機抽取一個盒子，可以知道這個盒子中有兩枚相同硬币的概率是2/3。

但是如果我們從這個盒子裡拿出一枚硬币，看後确認是金币，那麼這個盒子隻可能是以下兩種情況之一：要麼有兩枚金币，要麼是一枚金币和一枚銀币。既然任何一個盒子被選中的概率都是相同的，那麼似乎看上去，我們拿到有相同硬币的盒子的概率從2/3下降到了1/2。如果我們一開始拿出的是銀币，那麼也可以做出同樣的推導。

原本盒子裡有兩枚相同硬币的概率是2/3，為何一打開盒子就改變了它的概率呢？這是因為當我們拿出金币時，其實已經确認了一些事情—知道了它是來自哪兩個盒子，但這個信息是額外獲得的。

如果要得出盒子中兩枚相同硬币的概率，就必須把取出的金币是來自哪個盒子的概率也考慮進去。從有兩枚金币的盒子中拿出金币，和從有一枚金币和一枚銀币的盒子中拿出金币的概率是不同的。前者随便怎麼拿都能拿出金币，後者拿出金币的概率隻有1/2。我們不能忽略這個額外信息背後隐藏着的條件概率。

概率關注的是未知事件發生的可能性，一旦某個事件被确認過，它就不再是未知的。面對黑盒時，我們不能确定的是兩枚硬币的分布情況。而當我們拿出其中一枚硬币查看時，已經人為地把一枚不确定的硬币變成了确定狀态，此時概率的“前提條件”就變了，一些未知的事件變成了已知。

概率問題之所以有時反直覺，是因為它要根據不同的前提或假設做出不同的推算。我們必須認識到，獲取信息的方式和信息本身同樣重要。一旦我們使用了一些非随機的方式去幹預或影響本該随機發生的事件，概率也就會随之發生變化。

關于作者：徐晟，某商業銀行IT技術主管，畢業于上海交通大學，從事IT技術領域工作十餘年，對科技發展、人工智能有自己獨到的見解，專注于智能運維（AIOps）、數據可視化、容量管理等方面工作。

本文摘編自《大話機器智能：一書看透AI的底層運行邏輯》，經出版方授權發布。（ISBN：9787111696193）

《大話機器智能：一書看透AI的底層運行邏輯》

推薦語：AI是什麼？機器如何擁有“智能”？“智能”如何起作用？本書以通俗易懂的方式，勾勒人工智能的全貌，展現AI的底層運行邏輯，即AI是如何工作的。

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