黃金分割我們都有所耳聞,它是數學與藝術的結合,為我們展現精确的美。那麼,黃金分割在生活中有哪些應用呢?
一、五角星圖形
我國的國旗、國微、軍旗、軍徽都采用了五角星圖案(一些其他國家也是如此)。而發現黃金矩形的畢達哥拉斯學派的會徽也是一個五角形,每個會員都佩帶一個五角星标記的微章。為什麼五角星會成為衆多民族喜愛的圖形?正五角星圖形到底具有哪些美感呢?
五角星的形成來自于大自然(如五角星形花瓣),它也和大自然一樣,既有美妙的對稱也有扣人心弦的變化。
将圓周分成五等分,依次隔一個分點相連,則可一筆畫成一個圖形,即成一個正五角星形。首先,在連接的過程中就讓人驚異于形成圖形的奇妙(奇異的美);而連成的圖形又具有如此明顯的對稱性(對稱的美)!五角星美的核心是五條邊相互分割成黃金比(如圖中F、G是AC的黃金分割點)這是種最勻稱的比,能給人産生美的原動力。因此,五角星形具有如此巨大的魅力,成為世人所喜愛的圖形。
二、黃金圖形
請看下面的幾種黃金圖形。
黃金矩形:寬與長之比為黃金數的矩形。對黃金矩形依次舍去所作的正方形,可得到不斷縮小的黃金矩形序列。
黃金三角形:分兩類,第一類是底與腰之比為黃金數的三角形,如圖二的△ABC,△BCD,△DEC,……組成不斷縮小的三角形序列;第二類是腰與底之比是黃金數的三角形,如圖三中的△ABC,△DAB,△EBD,……也組成不斷縮小的黃金生角形序列,前述的埃及胡夫金字塔,其正投影即為此類黃金三角形。
黃金橢圓:短軸與長軸之比為黃金數的橢圓(如圖四)。它的面積與以它的焦距為直徑的圓的面積相等:它的離心率的平方也是黃金數。
黃金雙曲線:實半軸與半焦距之比為黃金數的雙曲線(如圖五)。它的離心率的倒數也是黃金數。
這些黃金圖形使人看起來賞心悅目,是同類圖形中最和諧、優美的圖形。
三、将黃金數表示為連分數
由線段的黃金比1/x=x/(1-x),有x^2=1-x,x(x x)=1,得x=1/(1 x)。對等式右邊分母中的x又以1/(1 x)代替,可得x=1/(1 1/(1 x));依次類推,可得連分數:x=1/(1 1/(1 1/(1 ……)))。
這樣個簡潔的連分數給人以有序而無窮的印象,使人具有不言而喻的美感,黃金數與連分數之間竟有如此迷人的聯系,怎不讓人驚歎!
四、菲波那契數列
13世紀意人利數學家菲波那契在他的《算盤經》的修訂版中增加了一道着名的免子繁殖問題,為黃金分割大放異彩。
問題是一對免子每一個月可以生一對小兔, 那麼,從剛出生的對小免算起,滿一年可以繁殖多少對兔子?
則由第一個月到第十二個月兔子的對數分别是: 1, 1,2, 3,5,8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,這個數列稱為菲波那契數列。這個數列的一個特點是從第3項起,每項等于它的前兩項之和。
奇妙的是公式中含有無理數/5,而n用正整數代人時,所得的結果卻都是正整數:另一出人意料的是,相鄰兩項的比。當n趨于無窮大時,它的極限恰好是(√5-1)/2≈0.618。
菲波那契數列具有特殊、神秘的魅力。難怪近年國外出版了一種《菲波那契數列》雜志,專門發表有關這個數列的新發現和新用途的文章,使得菲波那契數列的研究長盛不衰,生生不息。
文章整理于《數學美拾趣》
,更多精彩资讯请关注tft每日頭條,我们将持续为您更新最新资讯!