很早以前，人們就發現了電荷之間和磁體之間都有作用力，但是最初人們并未把這兩種作用聯系起來。後來，人們發現有些被閃電劈中的石頭會具有磁性，于是猜測出電與磁之間可能存在某種關系。直到奧斯特、法拉第等人的努力，人們終于認識到電與磁的關系密不可分，人們利用磁鐵制造發電機，也利用電流制造電磁鐵。

但是，電與磁之間最深刻的物理關系是由麥克斯韋搞揭示的，麥克斯韋通過四個方程組成的方程組闡釋了電與磁——這一對宇宙間最深刻的作用力之間的聯系，并将電場和磁場統一了起來。麥克斯韋方程組從誕生起就一直被人們認為是世界上最美的物理公式。

這篇文章将帶領大家了解一下麥克斯韋方程組的發現過程和具體含義，在這個過程中需要介紹一些數學基礎。雖然對于大部分人來說，理解這個過程是十分辛苦的，但是當你真正理解麥克斯韋方程組時，你會和我一樣驚歎于它的和諧和美麗。

1、場和場線

1758年，法國物理學家庫倫最早研究了電荷之間的作用力，并提出了庫倫定律：兩個電荷之間的作用力與電荷量的乘積成正比，與二者之間的距離平方成反比。

從那以後，科學家們就一直在争論電荷之間作用力的方式：有些人認為電荷之間的作用力不需要時間和空間，一個電荷一瞬間就會對另一個電荷産生作用力，這就是所謂的“超距作用”。

随着科學的發展，超距作用的觀點越來越被人們懷疑。終于，英國科學家法拉第提出了“電場”的概念。

法拉第認為：在電荷周圍存在着一種物質，這種物質看不見也摸不着，但是它是存在的，它可以在空間中傳遞。當電場傳遞到另一個電荷處時，就會對另一個電荷産生力的作用。反過來，第二個電荷也會産生電場，從而對第一個電荷産生反作用力。也就是說：電荷之間的作用是通過電場傳遞的。

1851年，法拉第還創造性的提出了一種描述電場的方法：用一組帶箭頭的曲線表示電場，曲線的切線方向表示電場的方向，曲線的疏密描述電場的強弱。比如，一個單獨的正電荷和一正一負兩個電荷在空間中形成的電場如下：

這種描述場的方法稱為“場線”，場線可以用來描述電場，也可以用來描述磁場。人們可以通過各種方法來模拟場線，例如：法拉第利用磁鐵周圍的鐵屑模拟了磁感線的情況。

場和場線的提出為後來人們研究許多問題提供了方便。

2、電生磁、磁生電

第一個發現電與磁關系的人是丹麥物理學家奧斯特。

1820年，奧斯特在一次給學生上課的時候，偶然間把一個通電直導線放在了小磁針上方，他驚奇的發現：小磁針居然偏轉了！在場的學生并沒有發現這個現象的驚人之處，隻有奧斯特為這個發現倍感興奮。

經過仔細的研究，奧斯特提出了電流對小磁針的作用方式。在我們今天的觀點看來，奧斯特其實闡明了通電導線的周圍存在着以導線為圓心的環形磁場。後來，科學家安培指明了磁場的方向判斷方法：右手螺旋定則。

在奧斯特發現電流可以産生磁場的消息傳遍世界時，英國的法拉第剛滿30歲，他當時還在化學家戴維的手下幹活。許多人懷疑戴維出于嫉妒使用各種方法壓制法拉第，例如強迫法拉第進行光學研究。直到1829年戴維去世後，法拉第才開始着手研究自己感興趣的電磁學問題。

法拉第認為：既然電流可以産生磁場，那麼磁鐵也應該可以産生電流。為此，法拉第進行了一系列的物理實驗，終于在1831年發現了電磁感應現象。

在一個鐵環的兩側繞上兩條不同的導線，第一個導線上通過電流時，另一側的導線上也産生了電流。法拉第解釋說：這是因為第一個電路的電流發生了變化，所産生的磁場也發生了變化，而變化的磁場可以産生電流。

我們還可以做這樣的實驗：将一根磁鐵插入螺線管，螺線管連接到一個電流表上，也會發現電流表上有讀數。這也滿足法拉第所說的“在運動和變化的過程中，磁場可以産生電流。”

通過奧斯特、法拉第等人的發現，人們認識到電和磁并不是割裂的，而是緊密相關的，甚至有人認為：電和磁似乎是同一個問題的兩個方面。

3、麥克斯韋方程組的數學基礎

1860年，比法拉第年輕四十歲的青年科學家麥克斯韋來到了法拉第面前，他把他之前發表的論文《論法拉第的力線》遞交給法拉第。法拉第大喜過望，并對麥克斯韋說：你不應該局限于用數學解釋我的觀點，而要有所創新。

在法拉第的鼓勵下，麥克斯韋進一步開拓了自己的觀點，并最終總結成四個方程組成的麥克斯韋方程組。為了理解這四個方程，我們首先需要兩種數學運算：通量和路徑積分。

第一個概念是通量。如果電場E垂直穿過一個平面S，我們把電場E和面積S的乘積稱為電場通量。如果電場E和平面S的法線夾一定的夾角，我們可以把電場進行正交分解，再用垂直于平面的分量乘以面積得到電場通量。

因為電場E可以用電場線的疏密表示，所以用電場E乘上面積S，實際上表示的就是穿過這個面的磁感線根數。假如各處電場不同，就需要把面積分割成無限多份，用每一小份的電場通量相加。

用數學表達式表示就是：

同樣，磁場穿過一個面也可以用同樣的方法定義磁通量。用積分符号寫作：

第二個概念是路徑積分。如果一個電場E沿着路徑AB的方向，用電場E乘以路徑AB的長度L，就得到路徑積分。如果電場E與路徑AB方向夾一定角度，就把電場進行分解，把沿着AB方向的場分量乘以路徑長度L。磁場也有類似的路徑積分。

如果電場或磁場各處不同，我們就可以把路徑AB分成無窮多份，把每一份的路徑積分加起來，表示成：

需要注意路徑并不一定是直線，沿着曲線也有路徑積分。

4、麥克斯韋方程組

好了，現在我們知道了一個矢量可以計算通量，也可以計算路徑積分。這樣我們就可以來理解這四個偉大的方程了。

1.電場的有源性

麥克斯韋方程組的第一個方程用數學表示了法拉第的第一個觀點：電荷會在周圍空間産生電場。正電荷會向外發射電場線，負電荷會從周圍吸收電場線。電荷的電量越大，所發射或者吸收的電場線越多。

如果我們用一個閉合曲面包圍住一個電荷，那麼這個閉合曲面上的電場通量就代表了電場線的根數。由于這些電場線都是由曲面内的電荷發射出來的，所以它正比于曲面内所有電荷的代數和。需要注意的是：無論我們所選取的曲面形狀如何，隻要它包圍的電荷相同，它的電通量就是相同的。如果電荷在閉合曲面外，它發射的電場線就既要穿入曲面，又要穿出曲面，這樣對曲面的電通量就沒有貢獻，因此在方程中考慮的電荷量都是曲面内部的電荷。

用公式寫作

在這個公式中，等号左邊部分表示 閉合曲面上的電通量，也就是穿出曲面的電場線根數，等号右邊的Σq表示曲面内的電荷代數和，ε0稱為真空介電常數。這個方程就是麥克斯韋方程組中的第一個方程，也稱為電場高斯定律。這個方程告訴我們：電場是有源場，它的源就是空間中的電荷。

2. 磁場的無源性

與電場不同，無論是由磁體産生的磁場，還是由電流産生的磁場，磁感線總是閉合的。磁感線既沒有出發點，也沒有結束點。比如我們觀察通電螺線管的磁場就會發現這個特點。

于是，如果我們在空間中做一個閉合曲面，磁感線要麼不穿透這個曲面，要麼一定是既穿入這個曲面，又穿出這個曲面，因此磁感線的通量為零。

這樣，麥克斯韋方程組的第二個方程就可以寫作：

這個方程稱為磁場高斯定律，它告訴我們：磁場是無源的，既沒有起點也沒有終點，而總是閉合的。

3 磁場的環路積分

麥克斯韋方程組的第三個方程是為了解釋法拉第電磁感應定律。

比如，當一個磁鐵靠近一個導線圈時，導線圈中會産生感應電流。法拉第等人認為：這是因為磁鐵靠近時，線圈中的磁通量發生了變化，而且産生的電動勢正比于磁通量的變化率。

麥克斯韋經過思考，得出了一個設想：電動勢的産生是由于有一種電場力推動了電荷，因此變化的磁場可以産生的是渦旋狀的電場。假如有個導體恰好處于渦旋電場之中，就會在導體中産生感應電流。而且，這個渦旋電場的大小是正比于磁通量的變化率的。

于是，麥克斯韋把第三個方程寫作：

方程左邊表示沿着一個閉合路徑的電場路徑積分，它可以表示這個閉合路徑上的電動勢。而右側表示磁場變化率的面通量，即磁通量的變化率。

這個方程用數學解釋了法拉第電磁感應定律的成因，也可以描述成渦旋電場是有旋場。

4. 磁場的路徑積分

奧斯特時代起，人們就認識到電流周圍存在磁場，而且磁感應強度正比于電流。麥克斯韋把這個特點用數學表達式寫作：

等号左邊表示一個任意的閉合路徑上的磁場路徑積分，右側表示這個閉合路徑所包圍的電流之和。

不過，麥克斯韋的思想不僅僅局限于此。麥克斯韋設想：既然變化的磁場可以形成渦旋電場，那麼變化的電場自然也能形成磁場。例如：在一個電路中有電容器，在電容器充電和放電的過程中，導線周圍存在磁場。而電容器中的電場會發生變化，它的地位應該等同于電流。于是，麥克斯韋提出了位移電流的概念：變化的電場相當于電流。

最終，麥克斯韋把第四個方程寫作：

等号左邊表示沿着任意一個路徑的磁場路徑積分，右側的μ0表示真空磁導率，I表示電流，Ф表示這個路徑上所包圍的電場通量。這個方程表示：電流和變化的電場都可以引起磁場。

5、麥克斯韋的預言

麥克斯韋方程組是人類有史以來最美的物理學方程，它具有強烈的對稱性和自洽性。它告訴我們：電場和磁場并非單獨存在，而是統一于電磁場之中。

不僅如此，麥克斯韋還經過計算證明：如果在真空中存在一個振蕩的電場，那麼在振蕩電場的周圍就會産生磁場，而這個磁場又會進一步産生電場…如此往複，電磁場就可以向遠處傳播，形成電磁波。

麥克斯韋計算了電磁波的速度，發現電磁波在真空中的速度剛好等于光速，于是大膽預言：光就是一種電磁波。

至此經典物理學走到了極緻，物理學家們的信心極度膨脹。以至于1900年物理學家集會時，開爾文爵士自豪的宣稱：物理學的大廈已經基本建成，後世隻要再做一些修修補補的工作就可以了。

隻可惜，麥克斯韋沒有親手證實它所預言的電磁波，1879年，年僅48歲的麥克斯韋與世長辭。而在同一年，現代物理學最偉大的科學家愛因斯坦剛剛出生。

在麥克斯韋之前，最偉大的物理學家是牛頓，因為他的萬有引力定律統一了天上和地下，他證明了月亮和蘋果滿足同樣的物理規律。在麥克斯韋之後最偉大的物理學家是愛因斯坦，因為他的狹義相對論和廣義相對論統一了時間與空間，讓人們認識到世界實際上是在一個統一的時空中存在的。而在牛頓和愛因斯坦之間，最偉大的物理學家就是麥克斯韋，他的方程組統一了電場與磁場，他預言的電磁波成為現代最重要的通訊方式。甚至于，愛因斯坦所提出的相對論，一部分原因也是為了處理麥克斯韋方程組的協變性問題。

有些人的壽命雖然不常，但是他光輝的思想卻永遠留在了世界上。

來源：李永樂老師

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