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二重積分所有知識點

生活更新时间:2025-11-14 14:18:23

一元微積分，二重積分，三重積分貫穿着整個數學分析，教材上嚴謹的數學推導既整潔又枯燥

本篇帶你走進不一樣的微積分時空，讓你感受到不一樣美。

如圖是一個三維空間的立體模型

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）1

把他翻轉到ZX面，每一個微小的面積就是Zxdx

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）2

整體的面積就是：所有微小面積的疊加之和

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）3

所有的和寫成一元積分的形式：

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）4

換到Y軸上，這一小塊的體積就是ZX面上的面積乘以Y軸上的厚度

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）5

所以得到：總面積乘以微小的厚度dy

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）6

整個Y軸上的厚度不斷累加，就得到用黎曼和表示的體積

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）7

所以得到用積分表示和的累加的結果：二重積分公式

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）8

我們換到ZY面上，同理得到ZY面上的面積

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）9

空間上dx就是微小的高度，整體的體積就是

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）10

所以就得到兩個方向上等價的體積公式：二重積分

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）11

如果将立體結構轉換到極坐标空間中：

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）12

因為是旋轉的，我們取微小的旋轉角度dθ，根據弧度制，dθ對應的弧長就是Rdθ

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）13

這個Rdθ在立體上就表示寬度

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）14

旋轉的微小半徑就是dR

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）15

高度是Z，所以微小塊的體積就是ZxdRxRdθ

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）16

所有R方向上的總體積就是

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）17

寫成一元積分形式

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）18

整個圓周上體積之和就是

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）19

寫成積分的形式：得到極坐标下的二重積分

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）20

另一個思路：一圈的體積就是

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）21

R方向上體積總和就是

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）22

寫成積分的形式

二重積分所有知識點（學不到的二重積分）23

上述就是二重積分在空間中最直觀的描述。

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