我今天給大家講二維曲率，二維曲率相當有趣（以後簡稱曲率），它和大家想象的時空曲率有所差距，卻又是理解時空曲率的基礎。

那麼大家就開門見山地問了：那你說說，什麼是二維曲率，這種曲率的意義又是什麼呢？

在講曲率是什麼之前，我先帶領大家看一些我們生活中常見的東西：

請看下圖，你說道：這不就是兩條直線嘛。

接着。我們再看這條曲線：

我相信，你此時的腦海裡已經将曲率，直線，曲線這三者聯系起來了。你不由自主地猜想到：“我覺得直線的曲率是0，曲線的曲率不是0。曲線曲線，自然有曲率了，而且應該不是0.”

沒錯，你這樣想完全沒問題，因為我們的邏輯幾乎都是從具體到抽象的，而反過來就難以理解了，我們的大科學家們為了描述自然界中的曲直現象，因此不得不定義出某種新的概念或是發明新的數學方法來。如果我們生在他們那個知識貧瘠的年代，也一定會像他們一樣，想當然地定義和運算某些新發現的事物。

高斯

請仔細看下圖，曲線的彎曲程度在每個點上都是不同的！有的地方彎曲的明顯感覺厲害，有的地方明顯就沒那麼厲害了，我們想當然地會說：彎曲大的地方曲率會大，彎曲一般的地方曲率則小。

那麼，大數學家高斯就說了：“我要定量分析曲率，我要自己發明描述曲率的數學工具，定義自然界曲率的數學規則，而不是定性地用“大”或者“小”描述它。”

他是怎麼做的呢？我們引入曲率圓和曲率半徑的概念：

曲率K用哪個公式算呢？它是由y=f（x）的一階導數和二階導數組合而成的公式，如果你不懂導數，請在筆者空間看講導數的那一篇文章。

注意，我們現在研究的曲率隻是二維平面的曲率，而未來要講的三維曲率，四維曲率（黎曼曲率）一個比一個複雜。

黑尖尖越長，表明該點的曲率越大

曲率半徑又是什麼意思呢？它等于曲率的倒數：

曲率圓越大，曲率半徑越大，曲率反而越小，那一點處越不顯得“彎”。

還是老辦法，講了這麼多不管用的，我還是給大家做個實驗讓大家“看”見數學吧：現在我們研究一下y=x^2這條抛物線在各點處的曲率是如何變化的。

若：

這個曲率圖像長什麼樣子呢？筆者用數學軟件給大家畫出來了：

這就是y=x^2的曲率變化，我們發現，它在x=0的時候曲率是最大的，曲率的值是2，之後兩邊的曲率就越來越小了，曲率越小，長得越像直線。曲率越大，長得越像圓。

哦，多麼有趣的問題，曲率越大的東西“長得越圓，越彎”，那麼圓的曲率是多少呢？

沒錯，你沒有看錯，圓的曲率就是它本身的半徑R分之一:

半徑越大的圓，它的曲率越小，是不是很奇怪呢？

二維曲率的故事就暫且告一段落了，感謝大家抽空閱讀~

理查德.費曼

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