我們在第一次接觸幾何學時，數學老師就教我們如何尺規作圖。
或許你還聽說過，著名的古希臘三大幾何問題，它們分别是：倍立方，畫圓為方，三等分任意角。
三大難題曆經2000多年後，人類才知道是不能用尺規作圖完成的。
今天，我們就來簡單了解一下，尺規作圖的原理，相信看完後，你能明白三大幾何難題不成問題的原因。
首先，我們利用尺規作圖，很容易平分一條線段，甚至還可以對所有正整數開根号。
比如，作1×1的直角三角形，然後連接對角線，可以得到根号2：
那我們的問題來了！
對于一條任意長的線段，比如長度a，那麼我們可以作，長度為“根号a”的線段嗎？
答案是可以的，但是對于一條直線，我們必須指定單位長度，不然對未知長度的直線開根号，是沒有意義的(你能想到是為何嗎？)。
下圖給出了直線a，用尺規作圖“根号a”的方法。
這就是尺規作圖的極限——對任意已知長度的線段，開2次根号。
但是，你永遠無法利用尺規作圖，得到一般的3次開方數，比如;
那麼我們就可以回答，開篇的問題了。
1、倍立方的本質，是作3次根号2；
2、畫圓為方的本質，是作圓周率π；
3、三等分任意角的本質，是三倍角公式下的一元三次不定方程，作其解。
我們知道圓周率是超越數，所以不可能尺規作圖得到；而那個一元三次方程，其解是會得到超出2次根号數的，所以不可能所有的角度都能尺規作圖三等分。
在19世紀初，法國數學家伽羅瓦，首先證明了倍立方和畫圓為方不成問題；1882年，林德曼等人，證明了圓周率的超越性，否定了畫圓為方問題。
另外，我們中國的近代數學起步晚，很多人在對數學前沿不了解的情況下，走了彎路。
比如在上世紀，那時的《北京晨報》，發表消息稱某位國人耗費14年，解決了三等分角，這一事件還在國内外引起轟動，可不久，人們就發現他的證明是錯誤的。
甚至到了上世紀70年代，中國科學院每年都能收到一籮筐研究三等分角的稿件，最後不得不在權威雜志，《數學通報》上發布通告稱：三等分任意角的尺規作圖，是不可能的，這一命題早在200多年前，被伽羅瓦所證明。
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