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三角形垂心講解太美了

生活更新时间:2024-07-30 20:18:50

三角形的外心，指的是三角形3條邊的垂直平分線交點，如下圖所示。

三角形垂心講解太美了（三角形垂心怎麼證）1

三角形的外心

證明非常簡單，隻需抓住“垂直平分線上的點到兩端的距離相等”，易得圖中3條虛線長度均相等。因此，若以該點為圓心，虛線長度為半徑作圓，則可以使三角形的3個頂點恰好位于圓上。這個圓稱為三角形的外接圓，外心也因此而得名。

三角形的垂心，指的是三角形3條高的交點，如下圖所示。

三角形垂心講解太美了（三角形垂心怎麼證）2

三角形的垂心

垂心的證明，相對來說就要難一些。其實，外心也好垂心也罷，由于相應連線均垂直于三角形的邊，因此存在一定的聯系，可以通過外心的存在，巧妙構造圖形，從而證明垂心的存在。

過三角形的3個頂點分别作對邊的平行線，可以得到一個新的三角形，如下圖中紅色三角形所示。

三角形垂心講解太美了（三角形垂心怎麼證）3

構造新三角形

易知，A、B、C恰好為紅色三角形的各邊中點，三角形ABC的各邊恰好是紅色三角形的中位線。如果過A、B、C分别作紅色邊的垂線，，不就能得到紅色三角形的外心嗎？參見下圖，垂線用綠色标記。

三角形垂心講解太美了（三角形垂心怎麼證）4

外心和垂心的關系

聰明的你，一定看出來了，綠線交點不光是紅線三角形的外心，同時也是三角形ABC的垂心！

由此可以得到結論，三角形的外心和它的中點三角形的垂心是重合的。

上述證明方法，相對于傳統證法來說，顯得更加巧妙，令人拍案叫絕。

數學真是奇妙，看似毫不相幹的東西，居然就這麼聯系起來了。體驗數學之美，實乃學習數學的一大樂趣！

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