19世紀前期，柯西發展了極限的概念，并且取得了很大的成果。柯西關于極限、連續性和導數的定義在法國逐漸得到普遍采用，在其他地方也是如此。此外，他在證明中使用的定義，特别是使用各種形式下的中值定理，使得分析不再是對一些具有特殊性質的量（無窮小量）的符号操作，而成為利用不等式的運算作精密的估計這樣一種研究無限過程的科學。

在某些方面，可以說柯西的最大貢獻在于他的清晰的定義。對于早前的作者，無窮級數的和是一個多少有點模糊的概念，有時可以用一種收斂性的論據來解釋，有時又作為此級數所來自的函數的值來對待（如歐拉就時常這樣做）。柯西宣稱無窮級數的和就是其部分和序列的極限。這是把微積分和分析的基礎移到以實數概念為基礎的重要一步。這個潮流最終占了統治地位，時常被稱作是"分析的算術化"。類似于此，現在連續函數就是具有以下性質的函數："變量的無窮小增加導緻函數本身的無窮小增加"。 上面的例子說明，柯西并沒有逃避無窮小，他也沒有對無窮小作進一步的分析。他對極限的定義，現在看來是一種對話式、啟發式的：

若對于一個變量所指定的值，無限地趨近于一個确定的值，使得它與此值之差變得想要多小就有多小，這個确定的值就稱為所有其他值的極限。這樣，舉例來說，一個無理數就是許多分數的極限，這些分數給出的值離此無理數越來越近。

這些思想按現在的标準來看并不完全嚴格，但是柯西可以用它給分析裡的種種基本過程以統一的基礎。

對于無窮小量的應用，就出現在他對連續函數的定義裡。設有一個函數f（x）定義在實數直線的某一個有限區間上，而且是單值的，然後在此區間裡任取一值x_0。如果把這個值增加為 x_0＋a、則函數值也會改變一個量f（x_0＋a）-f（x_0）。如果對此區間裡的任意x_0，f（x_0＋a）-f（x_0）與a同時無限地趨近于0。柯西就說這個函數在此區間上是連續的。換句話說，柯西定義的連續性是在一個區間上，而不是在一點處的性質，本質上就是說，在此區間上自變量的無窮小變化産生函數值的無窮小變化。柯西是把連續性考慮為函數在一個區間上的性質的。

這個定義強調了函數值的跳躍對于理解這個函數的重要性，這一點柯西在他早前研究微積分的基本定理時就遇到過。柯西在1814年關于定積分的論文中就說過：若函數Φ（z）在z=b'和z=b''以連續的方式增加或減少，則積分

通常可以表示為Φ（b''）-Φ（b'）。但是，若函數突然地從一個值跳到另一個明顯不同的值，則積分的通常的值必須減少。

柯西在他的講義裡定義定積分時，假定了連續性。他首先考慮把積分區間分成有限多個子區間，而在每一個子區間上函數或上升或下降。然後，他就定義定積分為以下的和的極限：

當數n變得很大時的極限。柯西用關于中值的定理和連續性的事實，對于極限的存在給了詳細的論證。

柯西的講義的各個版本在1821年和1823年出版、由柯西使用的定義，後來在法國成了标準。許多其他人也研讀過這些講義，其中著名的有阿貝爾和狄利克雷，他們在1820年代都在巴黎待過，黎曼也讀過這些講義。

柯西擺脫了拉格朗日的形式化途徑，排斥了“代數的模糊性”。雖然柯西是受到直覺（幾何直覺和其他直覺）的指引，他清楚地知道直覺有時會引人進入歧途，并且舉了一些例子說明緊貼準确的定義的價值。其中一個著名的例子就是給出了一個函數：當x≠0時，其值為

而當x=0時，其值為0，這個函數可以微分無窮多次，然而其泰勒級數卻不收斂于此函數。盡管柯西給出了這個例子，而且在自己的講義中講到它，柯西卻不是反例的專家，事實上，通過反例來澄清定義這個潮流還是後來的發展。

阿貝爾幹了一件使他非常出名的事情，他使人注意到柯西工作中的一個錯誤，這就是柯西聲稱一個收斂的連續函數級數必有連續的和，而在1826年，阿貝爾給出以下級數作為反例：

它在π的奇數倍處是不連續的。柯西隻是在後來好幾位作者都指出這個現象以後，才明白了收斂與一緻收斂的區别。曆史學家們關于這個錯誤寫過許多文章，其中有一篇 Bottazini的文章頗有影響，提出由好多柯西并不認為阿貝爾的例子有效的理由、看來柯西當時就已經知道這個例子。

黎曼，積分和反例

黎曼由于以他命名的黎曼積分而與分析的基礎不可分地聯系起來了。這個積分已經是每一個微積分課程的一部分了。 黎曼的工作中有許多地方很自然地會引起嚴格性問題，他的創造性極大地引導着研究者把他的這些洞察力精确化。

黎曼的定積分定義見于他在1854年的就職論文。在這篇文章裡，黎曼把柯西的概念推廣到函數不一定連續的情況。他做這個工作是作為他對傅裡葉級數展開式的研究的一部分。這種級數的廣泛的理論是由傅裡葉在1807年給出，但是到1820年代才發表的。傅裡葉級數把一個函數在一個有限區間上寫成以下的級數形式：

黎曼的工作的直接靈感來自狄利克雷，狄利克雷改正了柯西在函數的傅裡葉級數展開何時收斂又是否收斂于它所來自的函數這個問題上的毛病。1829年，狄利克雷證明了若一個函數以2π為周期、在一個如此長度的區間上可積分，而且沒有無窮多個極大與極小，則其傅裡葉級數收斂于它，但在間斷點上則收斂于來自兩側的兩個極限值的平均值。正如狄利克雷說的那樣，"這個主題與無窮小計算有最密切的聯系，因此可以用于把無窮小計算搞得更清晰與确定"。黎曼想把狄利克雷的研究作進一步推廣，因此對于狄利克雷的每一個條件都作詳細研究，這樣，他就把定積分的概念推廣如下：

部分地是與積分的這個定義相關，部分地是為了說明這個定義的力量，黎曼給出了在任意區間上都不連續但仍然可積的函數的例子。這樣，積分在每一個區間中均有不可微分的點。黎曼的定義就這樣使得微分與積分的互逆性質也成了問題，他的例子就把這件事大白于天下了。到了這個時候，這種“病态的”反例在推進嚴格性上面的作用，雖然在柯西那裡已經可以見到，現在更是大大加強了。

黎曼的定義是在他1866年去世後的1867年發表的。黎曼的定義的普及與推廣是與人們越來越領會到嚴格性的重要性同步前進的，而這又是與魏爾斯特拉斯學派相關的。黎曼的定義集中注意于不連續點的集合，所以又是康托在1870年代以後有極限點的集合的種子。

狄利克雷原理的應用可以看成是黎曼的工作引起對分析基礎的關注的進一步的例子。與他對于複分析的研究相關，黎曼被引到研究所謂狄利克雷問題的求解這就是：給定一個函數 g 定義在一個平面閉區域的邊緣上，是否存在一個函數f，在區域的内域滿足拉普拉斯偏微分方程，而在邊緣上取g同樣的值？黎曼斷定答案為是。為了證明這一點，黎曼把這個問題化為證明存在一個函數，使定義在次區域上的一個積分最小化，而且在物理學的基礎上論證這個最小化函數一定存在。甚至當黎曼還在世時，魏爾斯特拉斯就對此提出了質疑，并且在1870年發表了一個反例。這就導緻了許多其他數學家重新來陳述黎曼的結果，并用其他方法給以證明，最終，在精确而廣泛的條件下恢複了狄利克雷原理的适用性，是由希爾伯特在1900年給出的。

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