空間向量的引入為代數方法處理立體幾何問題提供了一種重要的工具和方法，解題時，可用定量的計算代替定性的分析，從而避免了一些繁瑣的推理論證。

求空間角是立體幾何的一類重要的問題，本節主要是介紹怎麼樣用空間向量的方法解決立體幾何問題中求二面角的平面角的方法。

一、什麼是二面角？

平面内的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。

1、定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。這兩個半平面叫做二面角的面，這條直線叫做二面角的棱。

二面角由半平面--線--半平面構成：

2、二面角的表示:

如上圖：① 二面角 α-l-β ;② 二面角 P-l-Q ; ③ 二面角 α-AB-β ；④ P-AB-Q 。

3、二面角的畫法：

① 平卧式：

② 直立式：

4、二面角大小的度量：

以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個半平面内分别作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

二面角的大小用它的平面角來度量。

5、二面角的平面角必須滿足：

1）角的頂點在棱上 ；

2）角的兩邊分别在兩個面内 ；

3）角的邊都要垂直于二面角的棱 。

6、二面角的取值範圍：

二面角的平面角的取值範圍是：【0，π】

二、二面角的平面角求法

1、定義法：

2、射影面積法：

例題：如圖所示，△ABC 在平面 α 内的射影是 △A1BC ，其中三角形的面積分别為 S 和 S1 , 求二面角 A-BC-A1 的餘弦值 。

射影面積法：cosθ = S影/S = S1/S 。

3、向量法：

① 思路：二面角的平面角 ∠AOB 轉化成與棱垂直的法向量 V1 和 V2 的夾角。

② 轉化方法：

③ 平面的法向量：

1、法向量的夾角與二面角的大小相等或互補；

注：解題時角的取值根據圖形判斷 。

2、求平面的法向量的坐标的一般步驟：

第一步(設) : 設出平面法向量的坐标為 n=(x,y,z)；

第二步(列) : 根據 n·a = 0 且 n·b = 0 可列出方程組

向量 a、b 在平面内

第三步(解) : 把 z 看作常數,用 z 表示 x、y；

第四步(取) : 取 z 為任意一個正數(特殊值)，便得到平面法向量 n 的坐标。

三、典型例題講解

例題1、如圖，已知四邊形 ABCD 為直角梯形，∠DAB = ∠ABC = 90° ，SA⊥平面 ABCD ，SA = AB = BC = 1 , AD = 1/2 , 求面 SAB 與面 SCD 所成的銳二面角的餘弦值。

解答過程：

建立如上圖所示的空間直角坐标系 A-xyz ;

則 A（0,0,0），D（1/2,0,0），C（1,1,0），S（0,0,1）；

設向量 n1 = （x,y,z）是面 SCD 的法向量，則有：n1⊥DC , n1⊥SD ；

∵ 向量 DC = （1/2,1,0），向量 SD = （1/2,0,-1），

∴ 平面 SCD 的法向量 n1 = （2，-1,1），

易知面 SAB 的法向量 n2 = 向量 AD = （1/2,0,0），

所以所求銳二面角的餘弦值為 √6/3 。

例題2、四邊形 ABCD 為正方形，PD⊥平面 ABCD ，PD∥QA ，QA = AB = 1/2 PD 。

（1）證明：平面 PQC⊥平面 DCQ ；

（2）求二面角 Q-BP-C 的餘弦值 。

解答過程：

總結：

1、利用法向量求二面角的平面角避免了繁難的作、證二面角的過程，解題的關鍵是确定相關平面的法向量。

2、利用法向量求二面角的平面角的一般步驟：

① 建立空間直角坐标系；

② 找相關點的坐标；

③ 求相關平面法向量的坐标；

④ 求兩法向量的夾角；

⑤ 求定值 。

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