為什麼雜技演員走鋼絲時會手持長杆？花樣滑冰時如何調節轉動的角速度？4月15日12時，《張朝陽的物理課》第四十五期開播，搜狐創始人、董事局主席兼CEO張朝陽坐鎮搜狐視頻直播間，從牛頓定律出發，推導質點系的質心運動定律和角動量定理，并将角動量定理應用于剛體的定軸轉動；對雜技表演中平衡杆的作用、花樣滑冰時轉速調節的原理進行解釋說明；最後還計算了長杆在重力作用下的擺動，闡述了長杆單擺與普通單質點單擺的區别。

質點系的質心運動定律：牛頓定律的簡單疊加

之前的一系列直播課程都圍繞着天體物理進行，主要介紹了太陽相關的知識。未來的直播課程将會介紹中子星，其中很重要的一點是中子星的轉動。為給後續課程做鋪墊，這一期張朝陽回歸到了牛頓力學，介紹與轉動有關的一些物理知識。

他從簡單的兩質點系統入手，假設兩個質點的質量分别是m1和m2，它們各自受到的合力分别為：

其中字母g表示外力，h表示兩質點之間的相互作用力，下标21表示質點2對質點1的作用，下标12類似。這裡隻考慮力h的方向平行于兩質點連線的情況。利用牛頓第二運動定律F=ma，兩個質點會産生兩個方程，二者相加會得到組合的運動方程：

将前面合力的表達式代入等式左邊，有：

其中删除線标注的兩項由于牛頓第三定律而互相抵消。前述運動方程的右邊可以寫為：

上式的M是總質量，r_CM是質心坐标。這樣就得到：

這就是質心運動定律。這個結果可以推廣到多質點的情況。等式左邊是質點系受到的合外力，右邊是總質量乘以質心加速度，形式與牛頓定律類似。

質點系的角動量定理：總角動量變化率等于合外力矩

張朝陽強調，質心運動定律雖然形式簡單，但是已經丢失了系統的很多信息。“就像2×6=12與3×4=12”，如果隻知道最後結果是12，是不能确定原來是2×6還是3×4的。質心運動定律所丢失的信息就包括系統的角動量信息。

(張朝陽推導質點系的角動量定理)

先考慮單質點的情況，在某一時刻，以質點的位置矢量、質點受到的合力F所在的平面為x-y坐标面建立三維笛卡爾坐标，此刻質點的運動方程為：

分别考慮各個基矢的系數，可以得到兩個方程：F_x=md^2x/dt^2和F_y=md^2y/dt^2。

力F對質點的力矩為：

将力和位矢二次導數的關系代入可以得到：

質點的角動量定義為位置與動量的叉乘，有：

考慮角動量對時間的導數：

與前面的力矩公式對比可得：

這就是單質點的角動量定理。單位時間的角動量改變量等于力矩。

在單質點角動量定理的基礎上，張朝陽轉而考慮兩個質點的情況。與證明質心運動定律類似，對兩質點應用角動量定理，公式相加可以得到：

其中的力矩之和可以改寫為：

最後一個等式之所以成立，是因為質點1的位矢減去質點2的位矢等于質點2到質點1的位置矢量，而它與力h_21平行，從而叉乘的結果為0。于是，總角動量單位時間的改變量等于外力矩之和。這個結論可以推廣到多質點的情況。如果用τ表示外力矩，那麼角動量定理可以寫為：

或者寫為：

角動量定理在剛體定軸轉動上的應用

前面推導的角動量定理對所有滿足要求的質點系都是成立的，因此也可以應用于剛體的定軸轉動。以剛體的轉動軸為z軸建立柱坐标系，與z軸垂直的坐标面使用極坐标。考慮剛體上的一小塊質量，把它看成第i個質點，它的角動量為：

在定軸轉動的柱坐标描述下有：

其中角度θ沒有标注下标i是因為定軸轉動下剛體每一點(軸心上的點除外)的角速度都是一樣的。在定軸轉動的情況下，隻需要考慮z分量的角動量定理。将上式代入質點i的角動量公式并利用基矢叉乘關系：

可得該質點角動量的z分量為：

質點i的角動量還包含徑向分量，不過基矢e_r對時間的導數正比于基矢e_θ，不會對z方向産生任何影響，因此可以在考慮角動量對時間的導數的z分量時把質點i角動量的徑向分量忽略掉。注意到剛體定軸轉動下，r_i不會随時間變化，于是剛體總角動量對時間的導數的z分量為：

後文為了表述的簡潔性，将把角動量的z分量簡稱為角動量。定義剛體的轉動慣量為：

那麼角動量随時間的變化率可以寫為：

接着，考慮質點i的外力矩：

于是：

這就是剛體定軸轉動的角動量定理。

(張朝陽推導剛體定軸轉動的角動量定理)

如果外力等于0，那麼上式右邊等于零，換言之Iω為常數，不随時間變化，這就是剛體的角動量守恒定律。

張朝陽以花樣滑冰時運動員在冰上的轉動為例進行說明。運動員轉動時也會做各種動作，雖然不能看成剛體，但角動量守恒依然成立。運動員在冰面受到的摩擦力可忽略不計，重力與支持力相互抵消，可以近似看成不受外力作用。當運動員轉動過程中，如果将手縮回，則轉動慣量公式中與手對應的r_i變小了，從而運動員的轉動慣量也将變小；因為角動量保持不變，所以運動員的角速度ω必然會增大；反之，如果運動員的手伸張出去，角速度則會變小。

對于剛體定軸轉動的角動量定理，張朝陽則以走鋼絲的雜技演員手持長杆作為例子。雜技演員手中的長杆可以幫其提高轉動慣量，從而在受到同等大小的力矩擾動的情況下，手持長杆時會比沒有長杆時的角速度改變量要小，雜技演員也因此更容易恢複平衡。

作為剛體角動量定理的應用，他還計算了長杆單擺在重力作用下的運動。假設長杆的質量線密度為μ，長度為L，那麼它的轉動慣量為：

對長杆單擺的力矩貢獻不為0的隻有重力，重力力矩為：

将其代入剛體的角動量定理，化簡得到：

張朝陽強調，如果簡單地把長杆看成所有質量集中于長杆質心處的物體，得到的單擺方程會變為：

其系數2與嚴格推導得到的3/2有較大差别，因此，不能簡單地把物體的所有質量等效到質心處。回到正确的單擺方程，雖然它本身比較複雜，不能簡單地求解，但是當擺動角很小時，sinθ約等于θ，在此近似下有：

該方程與諧振子的振動方程類似。于是小幅度長杆單擺的角頻率為：

頻率和周期分别為：

據了解，《張朝陽的物理課》于每周周五、周日12時在搜狐視頻直播，網友可以在搜狐視頻“關注流”中搜索“張朝陽”，觀看直播及往期完整視頻回放；關注“張朝陽的物理課”賬号，查看課程中的“知識點”短視頻。此外，還可以在搜狐新聞APP的“搜狐科技”賬号上，閱覽每期物理課程的詳細文章。

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