20世紀美國著名哲學家卡爾納曾說："自然可以用相對低次的數學方程解釋，這真是件驚奇和幸運的曆史上最偉大的事。"

人類在認識世界的過程中，學會用抽象、簡潔的方程式來高度歸納科學規律，從亞裡士多德、牛頓、愛因斯坦的時代直到今天，無數的方程展現了人們破解物質運動、光電閃耀、時空變幻等自然現象的曲折經曆，彰顯了人類百折不撓的探索精神。

方程是刻畫現實世界的一個重要模型.在運用方程解決實際問題的過程中，設立未知數據是首要環節.在設未知數時需有所選擇，不同的設元方法列出的方程有的簡單、有的複雜。

直接設元、間接設元、輔助設元、整體設元是設元技巧的常見表現形式。

《九章算術》是古代最重要的數學典籍之一，是中國古代數學從漢代直到元代前期一直處于世界數學的前列的基礎。涉及到"遍乘直除"法的計算，此法解線性方程組是世界上最早、最完整的線性方程組解法。《九章算術》博大精深，其中所蘊含的數學思想對今日數學的創造仍有重要的啟發意義。

《九章算術》中的"方程",實際是線性方程組。"方程術"解線性方程組的方法是世界上最早的完整的線性方程組解法。現今矩陣變換中的一些性質,諸如,對方程組的增廣矩陣進行初等變換不改變方程組的解,對矩陣施行初等變換不改變矩陣的秩等,在方程術及劉徽注中都有其理論依據。

宋代數學家秦九韶将劉徽解"方程"的"遍乘直除"改為"互乘相消法"，明清數學家梅文鼎又進一步改變秦九韶将系數方陣一直化為單位方陣的規範做法,化到三角方陣為止,使計算步驟大為簡化.至此,我國關于線性方程組解法與現行通用的所謂高斯解法毫無二緻,且在計算步驟更簡捷明快。

例1. 《九章算術》是中國傳統數學最重要的著作，奠定了中國傳統數學的基本框架，其中方程術是重要的數學成就．書中有一個方程問題：今有醇酒一鬥，直錢五十；行酒一鬥，直錢一十．今将錢三十，得酒二鬥．問醇、行酒各得幾何？意思是：今有美酒一鬥，價格是50錢；普通酒一鬥，價格是10錢．現在買兩種酒2鬥共付30錢，問買美酒、普通酒各多少？請你建立适當的數學模型，解決上面問題．

【解答】：設買美酒x鬥，普通酒y鬥，

答：買美酒0.25鬥，普通酒1.75鬥．

變式1.《九章算術》中有這樣一個問題，原文如下：

"今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數、物價各幾何？"

大意為：

幾個人一起去購買某物品，如果每人出8錢則多了3錢；如果每人出7錢，則少了4錢．問有多少人？物品的價格是多少錢？（注："錢"為中國古代的貨币單位）

請解答上述問題．

【解答】：設有x人，依題意，得：8x﹣3＝7x 4，

解得：x＝7，∴8x﹣3＝53．

答：有7人，物品的價格是53錢．

變式2. 中國古代算書《算法統宗》中有這樣一道題：甲趕群羊逐草茂，乙拽肥羊随其後，戲問甲及一百否？甲雲所說無差謬，若得這般一群湊，再添半群小半（注：四分之一的意思）群，得你一隻來方湊．玄機奧妙誰參透？大意是說：牧羊人趕着一群羊去尋找草長得茂盛的地方放牧，有一個過路人牽着1隻肥羊從後面跟了，上來，他對牧羊人說你趕的這群羊大概有100隻吧？牧羊人答道：如果這一群羊加上1倍，再加上原來羊群的一半，又加上原來這群羊的四分之一，連你牽着的這隻肥羊也算進去，才剛好滿100隻．你知道牧羊人放牧的這群羊一共有多少隻嗎？

【解析】設牧羊人放牧的這群羊一共有x隻，根據"如果這一群羊加上1倍，再加上原來羊群的一半，又加上原來這群羊的四分之一，連你牽着的這隻肥羊也算進去，才剛好滿100隻"，即可得出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．

答：牧羊人放牧的這群羊一共有36隻．

例2．10個人圍成一個圓圈做遊戲，遊戲的規則是：每個人心裡都想好一個數，并把自己想好的數如實地告訴與他相鄰的兩個人，然後每個人将與他相鄰的兩個人告訴他的數的平均數報出來，若報出來的數如圖所示，則報2的人心裡想的數是　　．

【解析】：設報2的人心裡想的數是x，則報4的人心裡想的數應該是6﹣x，

于是報6的人心裡想的數是10﹣（6﹣x）＝4 x，報8的人心裡想的數是14﹣（4 x）＝10﹣x，報10的人心裡想的數是18﹣（10﹣x）＝8 x，

報2的人心裡想的數是2﹣（8 x）＝﹣6﹣x，∴x＝﹣6﹣x，

解得x＝﹣3．故答案：﹣3．

本題屬于閱讀理解和探索規律題，考查的知識點有平均數的相關計算及方程思想的運用．規律與趨勢：這道題的解決方法有點奧數題的思維，題意理解起來比較容易，但從哪下手卻不容易想到，一般地，當數字比較多時，方程是首選的方法，而且，多設幾個未知數，把題中的等量關系全部展示出來，再結合題意進行整合，問題即可解決．

例3．小王問班主任仇老師家的電話号碼是多少，仇老師說想知道我家的電話号碼．你得動點腦筋．接着又說，我家的電話号碼是八位數，這個數的前四位數字相同，後面四位數字是連續的自然數，全部數字之和恰好等于号碼的最後兩位數，巧的是，這個号碼的後五位數字也是連續的自然數．請你根據上述條件幫助小王得到仇老師家的電話号碼．

【解析】分兩種情況進行讨論，①後五位數是依次增加的數，②後五位數是依次減小的數，然後根據題意列出方程即可求出結果．

①後五位數是依次增加的數．

設前四位數字均為x，則後四位數字依次為x 1，x 2，x 3，x 4，

根據題意，得：4x （x 1） （x 2） （x 3） （x 4）＝10（x 3） （x 4），

解得：x＝﹣8 不符合實際意義．

②後五位數是依次減小的數．

設前四位數字均為x，則後四位數字依次為x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣4，

根據題意得：4x （x﹣1） （x﹣2） （x﹣3） （x﹣4）＝10（x﹣3） （x﹣4），

解得：x＝8．

所以後四位數為7654，因此老師家的電話号碼為 88887654．

解答本題的關鍵是分類讨論，弄清楚後五位數是依次減小還是依次增加，有一定難度．間接設元，即所設的不是所求的量，需要将所求的量以外的其他量設為未知數，便于得出符合題意的等量關系。

著名科學家牛頓寫過一本數學書，書裡提出一道牛在牧場裡吃草的問題，這就是廣為人知的"牛吃草問題"，也稱"牛頓問題"。牛頓提出的原題比較複雜，後來常見的是簡化版本，請先看題目：

例4．有一片牧場，草每天都在勻速地生長（即草每天增長的量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草．設每頭牛每天吃草的量是相等的，問：

（1）如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛？

【解析】：需要考慮草每天的增長量、每頭牛每天的吃草量及牧場原有的草量之間的關系，故需增設一些輔助未知數，便于把這些關系表示出來.

設牧場原有草量為a，每天生長的草量為b，每頭牛每天吃草量為c，16頭牛x天吃完草．

（1）由題意得：

由②﹣①得 b＝12c④

由③﹣②得 （x﹣8）b＝（16x﹣168）c⑤

将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得 x＝18

（2）設至多放牧y頭牛，牧草才永遠吃不完，則有cy≤b，即每天吃的草不能多于生長的草，y≤b/c＝12．

答：（1）如果放牧16頭牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永遠吃不完，至多放牧12頭牛．

有些應用題，它所涉及到的量比較多，量與量之間的關系也不明顯，需增設一些表知敷輔助建立方程，輔助表知數的引入，在已知條件與所求結論之間架起了一座"橋梁"，對這種輔助未知量，并不能或不需求出，可以在解題中相消或相約，這就是我們常說的"設而不求"．

例5.實驗室裡，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為1：2：1，用兩個相同的管子在容器的5cm高度處連通（即管子底端離容器底5cm），現三個容器中，隻有甲中有水，水位高1cm，如圖所示.若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升5/6cm，則開始注水______分鐘後，甲與乙的水位高度之差是0.5cm.

··分析與解本例涉及底面積、注水速度、注水時間，而解題的關鍵是在理解題意的基礎上分類讨論.

可設甲、乙、丙的底面積分别為S，4S，S，向乙、丙注水的時間為t分鐘.因為每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，所以當注水1分鐘時可求出丙的水位上升高度：

設開始注水t分鐘後，甲與乙的水位高度之差是0.5cm，而甲與乙的水位高度之差是0.5cm時有三種情形：

例6.瑞士數學家歐拉（L.Euler，1707-1783）是曆史上最多産的數學家，據統計他一共寫了886本（篇）書籍和論文.著名數學家拉普拉斯說過："讀讀歐拉，他是我們所有人的導師."是啊，歐拉在數學上的貢獻實在太多了，即使在初等數學中也到處可見他的身影。

下面問題是歐拉的數學名著《代數基礎》中的一個問題.

有一位父親，臨終時囑咐他的兒子這樣分他的财産：第一個兒子分得100克朗和剩下财産的十分之一；第二個兒子分得200克朗和剩下财産的十分之一；第三個兒子分得300克朗和剩下财産的十分之……按這種方式一直分下去，最後每一個兒子所得财産一樣多.問這位父親共有幾個兒子？每個兒子分得多少财産？這位父親共留下多少财産？

例7．校園安全是學校教育管理工作中的重要組成部分．某中學新建了一棟4層的教學樓，每層有8間教室，進出這棟大樓共有4道門，其中兩道正門大小相同，兩道側門大小也相同，安全檢查中，對4道門進行了測試，當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘内可以通過680名學生，當同時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘内可以通過960名學生

（1）求平均每分鐘一道正門和一道側門分别可以通過多少名學生？（列方程解決問題）

（2）檢查中發現，緊急情況時因學生擁擠，出門的效率将降低20%，安全檢查規定，在緊急情況下全大樓的學生應在5分鐘内通過這四道門安全撤離．假設這棟大樓每間教室最多有50名同學，問建造的這四道門是否符合安全規定？請說明理由．

【解析】（1）設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，根據"當同時開啟一道正門和兩道側門時，2分鐘内可以通過680名學生，當同時開啟一道正門和一道側門時，4分鐘内可以通過960名學生"，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）利用學生總人數＝每間教室最多的學生數×每層教室的間數×樓層數可求出這棟大樓最多擁有學生數，再利用5分鐘可通過的學生數＝時間×4道門每分鐘可通過的學生數即可求出5分鐘可通過學生數，将二者進行比較後即可得出結論．

（1）設平均每分鐘一道正門可以通過x名學生，一道側門可以通過y名學生，

答：平均每分鐘一道正門可以通過140名學生，一道側門可以通過100名學生．

（2）符合安全規定，理由如下：

這棟大樓最多擁有學生數為50×8×4＝1600（名），

5分鐘可通過學生數為5×（1﹣20%）×（140×2 100×2）＝1920（名）．

∵1920＞1600，

∴建造的這四道門符合安全規定．

2005年國際物理年一個紀念會會場的入口标志，該設計的靈感源于愛因斯坦的質能方程。1905年，當時在瑞士專利局擔任普通職員的一位26歲的青年得到了一個關系式，那就是世界上最有名的方程：E=mc2。該方程以簡潔的語言揭示了一個令人難以置信的事實："一塊普通石頭，其中竟然蘊藏着足以毀滅一座城市的巨大能量。"

英國著名物理學家麥克斯韋用方程組統一了電、磁和光學，構建了統一的經典電動力學，這是一個宏偉的數學表達，其深奧、美妙、簡潔，正如詩人所贊美的：

是哪位神明寫出了這些符号？靈魂的渴望平靜下來,讓大自然的秘密向我敞開,我們欣賞方程。

欣賞方程中的數學本質——方程是基于"式"的運算；欣賞方程中的理性精神——方程是探尋"未知"的絕佳思維模式；欣賞方程中深刻的數學模型——方程是"好數學"的典範；欣賞方程中思維内在的和諧——方程是還原與對消中尋找不變量。

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