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自然對數的底數e是什麼

生活更新时间:2025-02-08 15:25:06

自然對數的底數e是什麼（自然常數e的真正含義）1

e是一個重要的常數，但它的真正含義是什麼？

π大家都知道代表了圓的周長與直徑之比，π≈3.14159。倘若我問你，e代表了什麼。你能回答嗎？

百度/維基百科都說說：

"e是自然對數的底數。"

但是你去搜"自然對數"，得到卻是：

"自然對數是以e為底的對數函數，e是一個無理數，約等于2.718281828。"

那e究竟是什麼？為何數學家選擇這樣一個無理數作為底數，還号稱這種對數很"自然"呢？

簡單說，e就是增長的極限。

自然對數的底數e是什麼（自然常數e的真正含義）2

下面我們來具體解釋

那麼這種生物的數量，每天都會翻一倍。今天是1個，明天2個，後天4個。我們可以寫出一個數量增長的公式：

自然對數的底數e是什麼（自然常數e的真正含義）3

其中，x表示天數。這種生物在第x天的總個數就是2的x次方。上式可以被改成為：

自然對數的底數e是什麼（自然常數e的真正含義）4

其中，1表示原有數量，100%代表單位時間内的增長率。

我們假定：倘若每過12個小時，新産生的那半個細胞就可以再次分裂了。

那麼，一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段都在前一個階段的基礎上增加50%。

即24小時後有2.25個細胞産生。

其中，1個是原有的，1個是新生的，另外0.25個是新生細胞分裂的。

如果我們修改假設：每過8小時就新産生細胞就具備分裂的能力，即1天分成3個階段。

自然對數的底數e是什麼（自然常數e的真正含義）5

那麼，24小時後我們可以得到大約2.37個細胞。

如果我們進一步設想，這種分裂是連續不斷進行，新生細胞每分每秒都具備持續分裂能力，那麼一天可以得到多少個細胞呢？

自然對數的底數e是什麼（自然常數e的真正含義）6

當n趨向無限大時，這個式子的極值等于2.718281828...。

自然對數的底數e是什麼（自然常數e的真正含義）7

因此，當增長率為100%保持不變時，我們在單位時間内最多隻能得到2.71828個細胞。數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間内，持續的翻倍增長所能達到的極限值。

這個值是自然增長的極限，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。

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