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二倍角餘弦正切公式推導

教育更新时间:2025-11-12 20:55:03

二倍角餘弦正切公式推導（高中數學正餘二倍角公式的變式及其應用）1

在三角函數的學習過程中，我們不僅要熟記一些常見的三角公式，而且要熟悉其變化形式，尤其是常用公式的變形公式。下面通過對二倍角的正餘弦公式的變形使用，加以說明。

變形一：

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例1、求

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的值。

解析：原式

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說明：本題中利用變形公式

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，使得問題得以巧解，簡潔明快。另本題也可進行倍角變換，有如下解法：

原式

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變形二、

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以及

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例2、求證：

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證明：左邊

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例3、已知

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，求

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的值。

解析：由

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得

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所以

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即

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因為

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所以

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所以

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即

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所以

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所以

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說明：本題通過利用升幂公式：

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，使得已知條件得以因式分解，進而使問題獲解。

變形三：根據誘導公式，有

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，于是有二倍角公式的如下變形

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例4、已知

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的值。

解析：因為

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所以

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所以

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例5、已知

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，求

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的值。

解析：

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所以

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因為

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，所以

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所以

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變形四：對于正切二倍角公式：

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，通常也有如下變形：

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等等

例6、證明：萬能公式：（1）

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。

證明：由二倍角公式：

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，得

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，于是：欲證公式

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成立，即證明公式

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成立。（注：這裡應注意

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為欲證的另一公式

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！）

将上述公式的右邊切化弦：

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=左邊，命題得證。

說明：在這個公式的證明過程中，我們還得到了另一個非常重要的副産品，即

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，真所謂“一石二鳥”之舉！

--END--

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