#數學裡的自然底數e是怎麼來的#

e (自然常數，也稱為歐拉數)是自然對數函數的底數。它是數學中最重要的常數之一，是一個無理數，就是說跟 π 一樣是無限不循環小數，在小數點後面無窮無盡，永不重複......

下面就是 e 的 2999 位有效數字，請注意不同的位我用不同的顔色表示出來了，有規律嗎？還是随機的呢？

與我們更熟知的兩個無理數圓周率 π 和 √2 不同，它不是由數學家由幾何問題上發現而來的，而出自一個金融問題，是用來表示增長率和變化率的常數，很多增長與衰減過程中都出現了 e 的身影。

它為什麼會和增長率有聯系呢? 讓我們回到來 17 世紀，看看發現 e 的第一人：瑞士數學家雅各布·伯努利以及他所研究的這個銀行的利率問題.

▲ 伯努利家族裡的幾位數學家與歐拉

雅各布·伯努利在研究複利的時候發現了一個有趣的現象: 假設在銀行存了 1 塊錢本金，而銀行提供的年利率是 100%。這樣的話，1 年後連本帶息，将會得到 2 塊錢，這個非常容易理解。

那麼現在考慮改變計息的周期，假設半年就計算一次利息，半年利率為 50%，這樣下半年新得到的利息同樣可以生息。這樣方案最終的收益應該比前一種更好，如何計算最終收益需要用到複利公式。

解釋一下上面的複利公式：FV（Future Value）是指财富在未來的價值；PV（Present Value）是指現值，亦即指本金；i（interest）是指周期内的固定利率或固定回報率，n 則是累計的周期。現在直接導入公式中就能算出一年後收益。

這樣看來一年後共會獲得 2.25 塊錢。恩，看起來要比隻計息一次強。那現在計算利率周期如果再短一些會怎麼呢? 假設每個月結算一次呢？這樣月利率為 1/12 ，上面複利公式隻要稍作改動，最終計算得到大約 2.61304 塊錢，這個方案會又好一些。

現在可以看出這樣的規律，利息的周期越短，一年後的收益就更好. 那就讓我們繼續縮短計息的周期，變為每周計算，這樣一年計息的次數就是 52 次 .

回報繼續增加，這樣我們甚至可以按每天來計息，或者半天、小時、分、秒來計算. 當然年末所獲得的收益亦會繼續增多. 不過雅各布.伯努利發現随着 n 趨于無窮，對于這樣的連續複利存在着一個極限，一個神秘的數學常數由此出現了:

對于上面式子考慮的極限值将是多少呢？

伯努利知道會是一個 2~3 之間的數，嘗試許久。但最終很可惜他并沒有計算出來. 這個問題由 50 年後，也就是1748年由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉借助下面的公式計算出來 e 的小數點後 18 位 2.718281828459045235......，這就是描述增長率的自然常量 e 由來.

歐拉不僅算出了 e 的 18 位數，并且還借助連分式的形式證明了 e 是一個無理數。下面圖像是 e 小數點後 21 位的連分數形式，觀察最左側是 1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12……。

發現規律了沒有？如果取得 e 小數點後無窮位的話，這樣連分數展開式就滿足這樣有趣的模式，那就意味着它是個無理數.

既然提到了 e ，通常會提到将所有著名的常數出現在同一個方程 - 歐拉恒等式(Euler's identity)，被美國物理學家費曼譽為最美的數學公式。因為這個等式居然把數學上 5 個最基本且重要的常數如此巧妙地聯系起來。

這個式子究竟是怎樣出現的，我想就在另一篇文章中再介紹吧！

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