相信不少人都聽說過著名的“雞兔同籠”問題，對無憂無慮的小學生來說，心理陰影不至于，但絕對是個巨大的挑戰。問題是這樣的：在一個籠子裡，有雞和兔子兩種動物，兩種動物腦袋共35個，腳一共94隻，那麼雞和兔子分别各多少隻呢？

當然啦，題目中的雞和兔子都是正常的，沒有殘疾，也沒有三頭六臂。基于此，老老實實的考慮怎麼才能算出答案呢？

《孫子算經》的解法

事實上，這個問題最早出現于《孫子算經》，并給出了一個解法：

• 所有動物的腳數除以2，得47；每隻雞有一對腳，兔子有兩對腳。
• 假設籠子裡全部是雞的話，腦袋35個，腳也應該是35對，而事實上有47對腳。
• 如果把一隻雞換成一隻兔子的話，47-35=12，說明需要12隻雞被替換為兔子，于是得到兔子的數目。
• 雞的數目自然就是35-12=23隻了。

對于上面的解法，理解起來也并不那麼輕松，尤其對于小學生來說。我估計很多人在看完這個答案的時候，心裡暗暗的佩服：這個解法真“孫子”！

有趣的算法

如果說一聲令下，讓每隻雞都金雞獨立，每隻兔子也雙腳站立賣萌。此時着地的腳一共是47隻，而腦袋是35個；其中一隻雞頭對應一個腦袋，一個兔頭對應兩隻腳；那麼腳的數量減去頭的數量就是兔子的個數啦，兔子數目知道了，雞的數量自然也就知道了；因此兔子12隻，雞23隻。

有人質疑一聲令下，說假如能讓雞單腳着地的話，為什麼不直接讓雞報數？好啦，做人要厚道，這個問題就留給我們敬愛的、偉大的生物學家吧！事情不能做絕，也得給别人一碗飯吃。

然而，無論是《孫子算經》的算法，還是能和小動物溝通，都是結合了這個具體的背景，給出了具體的解法。假如說籠子裡放幾隻蜈蚣的話，還像上面的算法那麼算的話，估計誰算誰罵街。數學的使命，就是抛開具體事物，隻研究其數量關系，找到通用的、一般的算法。

機械地嘗試

如果我把題目改一下：在一個籠子裡，關着雞和兔子，兩種動物的的腦袋一共是2個，腳一共是6個，問雞和兔子分别有幾隻？

我相信很多人一瞬間，就得到答案了。那麼如果改成一共3個頭，8隻腳呢？應該也會有比較多的小學生能得到答案。而這個思維過程其實很簡單：嘗試！如果籠子裡小動物的數量少，試一兩次就得到答案啦；如果數量大了，懶惰的我們就忽略了這種算法。

仍然考慮原問題中的籠子，通過嘗試的方法，毫無疑問是要嘗試更多次的：

• 假如是1隻雞，34隻兔子，那麼腳一共是1×2 34×4=138>94，不對；
• 假如是2隻雞，33隻兔子，那麼腳一共是2×2 33×4=136>94，不對；
• 假如是3隻雞，32隻兔子，那麼腳一共是3×2 32×4=134>94，不對；
• ……

這樣一直試到23隻雞，12隻兔子，問題得到解決啦；當然，如果從假設1隻兔子開始，嘗試的次數要少的多。如果說，在上面嘗試的過程中，敏銳法察覺到腳的數量是在遞減，你可能就會去跳躍的嘗試，比如嘗試完5隻雞，直接嘗試10隻雞……，如此會更快的獲得答案。

有些人會不屑，這種算法也叫算法麼，我都沒抖抖機靈。沒錯兒，這種算法比上面的兩種算法更具一般性，無論籠子裡關的是什麼小動物都可以這樣計算；當然了，這種方法很機械，而且随着籠子裡動物數量增多，計算量也在迅速增大。

如果原問題中的籠子有67個，把這67個籠子中的雞和兔子都放到一個大籠子裡，就得到：雞和兔子的腦袋一共2345個，腳6298隻，那麼雞和兔子分别有多少隻呢？

此時“嘗試”的算法依然奏效，但是計算量就明顯增加。面對機械的計算，有沒有什麼好辦法呢？有！善良實在的計算機就登場了，它可以毫無怨言的按照“嘗試”的算法，快速計算出雞和兔子的數量。當然這個機械式的“嘗試”算法可以做改進，這是另外一個話題。

方程

問題到此還遠沒結束呢。再如果把籠子換成農場，農場裡除了雞和兔子，還有鴨子、大鵝、肥豬、羔羊……，同樣考慮求每種牲畜的數量問題，即便是動物總數量不算大，問題顯然是更複雜了。那麼，有沒有更一般的方法，能解決這類問題。這就是方程或方程組的意義啦！

對于雞兔同籠問題，轉化為二元一次方程組，問題轉化為求解方程組的問題，而不需要再考慮籠子裡是雞還是狗。

有了方程的解法，我們自然不會再采用上面那些具體的、燒腦的算法，包括機械的嘗試算法。即使是計算機，也不該放着更高效的算法不用呀！當然計算量很大、機械的原始算法，可能不适合真正用于實際，但其邏輯的合理性，用于邏輯論證是毫無問題的！

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