自然數列求和計算題?計算：1² 2² … 100²先說結果：1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6，下面我們就來聊聊關于自然數列求和計算題?接下來我們就一起去了解一下吧!

自然數列求和計算題

計算：1² 2² … 100²

先說結果：1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6

這是一個現成的結論，是平方和求和公式，可以直接使用。但是如何證明呢？

先說一個證明這類問題不用動腦子的方法：數學歸納法。

初中是沒學數學歸納法的，但是可以參考一下證明方法，順便了解一下數學歸納法的思想。

證明：1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6

當n=1時，結論成立。

假設n時結論成立，即1² 2² … n² = n(n 1)(2n 1)/6

當n=n 1時：

命題得證。

現在我們不把這個結論作為已知的結論來證明，我們隻求這個算式，那麼該怎麼辦？還是裂項法嗎？我是沒有嘗試出來，有懂的大師可以指點一下。

這個表達式的計算使用了一種較為巧妙的構造方法，使用三次方的展開，一般情況不太容易想到，下面記錄一下。

立方和展開公式為：

(x y)³=x³ 3xy² 3x²y y³

于是有：

(x 1)³-x³= x³ 3x² 3x 1-x³=3x² 3x 1

那麼：

2³-1³=3×1² 3×1 1

3³-2³=3×2² 3×2 1

…

(n 1)³-n³=3n² 3n 1

全部相加，可以得到：

(n 1)³-1=3(1² 2² … n²) 3(1 2 … n) n

到這裡，已經湊出來1² 2² … n²的形式，隻有1 2 … n需要進一步計算。

計算1 2 … n需要用到一個高中階段等差數列的求和公式，但是初中階段完全可以自行推導。先說結論

1 2 … n=n(n 1)/2

這個很容易證明，使用倒序對應項相加來求。

S=1 2 … (n-1) n

S=n (n-1) … 2 1

将兩式的對應項逐對相加，有：

2S=(n 1) (n 1) … (n 1) （總共n項）

那麼S=n(n 1)/2

我們再代入(n 1)³-1=3(1² 2² … n²) 3(1 2 … n) n，計算得：

這是一個可以直接拿來使用的公式。現在當n=100時，就容易計算了吧。

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