當丹尼爾·拉森上中學時，他開始設計填字遊戲。在赢得區域比賽後，他兩次獲得華盛頓特區附近的斯克裡普斯國家拼字比賽資格。“他專注于某件事，就算碰到困難，他也從來不放棄，直到他成功，”拉森的母親說。拉森的第一個填字遊戲被各大報紙拒絕，但他堅持了下來，最終闖了進來。迄今為止，他保持着13 歲時在《紐約時報》上發表填字遊戲最年輕的記錄。

拉森在過去的一年裡開始思考關于數學的問題, 它源于一個更廣泛的問題，數學家卡爾·弗裡德裡希·高斯認為這是數學中最重要的問題之一：如何區分素數(隻能被和自身整除的數)和合數。數百年來，數學家一直在尋找一種有效的方法來做到這一點。這個問題在現代密碼學的背景下也變得相關，因為當今一些最廣泛使用的密碼系統涉及使用大量素數進行算術運算。

一個多世紀以前，在尋求快速、強大的素數測試的過程中，數學家偶然發現了一群麻煩制造者——這些數字可以讓測試誤以為它們是素數，即使它們不是。這些被稱為卡邁克爾數的僞素數特别難以掌握。直到年代中期，數學家才證明它們的數量是無限的。這就引出另一個問題，要想進一步了解它們在數軸上的分布情況，則是一個更大的挑戰。

随後，拉森帶來了一個關于這一點的新證明，其靈感來自于數論不同領域最近的劃時代工作。當時，他隻有歲。

拉森在印第安納州布盧明頓長大，一直被數學所吸引。他的父母都是數學家，在他和他的姐姐很小的時候就向他們介紹了這門學科。林登施特勞斯回憶說, 當拉森歲時,他開始問她關于無窮大本質的哲學問題。

然後幾年前——大約在他沉浸于拼寫和填字遊戲項目的時候， 他看到了一部關于張益堂的紀錄片，這位不知名的數學家在證明了一個裡程碑式的結果後于年從默默無聞中崛起，該結果為連續素數之間的間隔。拉森他不停地思考那些數學家仍然希望解決的相關問題：孿生素數猜想-它指出有無窮多對僅相差的素數。

在張益堂的工作表明有無窮多對相差不到萬的素數之後，其他人也加入進來，進一步降低了這個界限。幾個月内，數學家詹姆斯·梅納德和特倫斯·陶獨立地證明了關于素數差距的更強有力的陳述。此後，這一差距縮小到個。

拉森想了解James Maynard和陶哲軒工作背後的一些數學原理，但是這些數學家的論文對他來說難度太大了。拉森試圖閱讀其他相關的作品，卻發現也難以理解。但是他沒有放棄，一直堅持下去，從一個結果跳到另一個結果，直到最後，在年月，他發現了一篇他認為既漂亮又易于理解的論文。它的主題是：卡邁克爾數，這些奇怪的合數有時會僞裝成素數。

世紀中葉，法國數學家皮埃爾·德·費馬(Pierre de Fermat)給他的朋友和知己Frénicle de Bessy寫了一封信，信中他陳述了後來被稱為費馬小定理的東西。如果是素數，則無論是什麼，始終是的倍數。例如，是質數，因此（等于）是 的倍數。類似地， 是的倍數，依此類推。

數學家看到了完美檢驗給定數字是素數還是合數的希望。他們知道如果是素數，總是的倍數。但是反過來是不是也是對的呢？也就是說，如果是所有值的的倍數，那麼一定是素數嗎？

事實證明，在極少數情況下，可以滿足這個條件并且仍然是對的。最小的數字是：對于任何整數，始終是的倍數，即使不是素數。像這樣的數字以數學家羅伯特·卡邁克爾（Robert Carmichael）的名字命名。

數學家想要更好地理解這些與數論中最基本的對象素數非常相似的數字。事實證明，在年(比 Carmichael的結果早了十年)另一位數學家Alwin Korselt提出了一個等價的定義。他隻是不知道是否有任何數字符合要求。

根據Korselt的準則，一個數是一個卡邁克爾數當且僅當它滿足三個屬性。

• 它必須有一個以上的主要因素。
• 沒有任何質數可以重複
• 對于每個能整除的素數， 也能整除。

再次考慮數字。它等于，因此它顯然滿足Korselt列表中的前兩個屬性。為了顯示最後一個性質，從每個素因數中減，得到、 和。此外，從 中減去。所有三個較小的數字都是的除數。因此，數字是卡邁克爾數。

盡管數學家懷疑卡邁克爾數有無窮多個，但與素數相比卻相對較少，這使得它們難以确定。然後在年，Red Alford、Andrew Granville和Carl Pomerance發表了一篇突破性的論文，他們最終證明了這些僞素數确實是無限多的。

遺憾的是，他們提出的方法無法說出這些卡邁克爾數的真實面目，比如它們是否沿着數軸成簇出現以及中間是否有很大的間隔？又或者是否總能在短時間内找到一個卡邁克爾數？Granville表示：你會想，如果能證明它們的數量是無窮多的就好了。當然你應該能夠證明它們之間沒有很大的間隔，它們應該相對間隔開。

但幾十年來，沒有人能證明這一點。由Alford、Granville和Pomerance提出的方法讓我們能夠證明将會有很多卡邁克爾數，但并沒有真正指出它們到底出現在哪裡。

年月，轉機來了。Granville收到了一封來自拉森的電子郵件，并附上一張證明紙。令 Granville 驚訝的是，他的證明看起來是正确的。雖然讀起來并不容易，但很明顯他并不是在胡鬧，提出了絕妙的想法。

Pomerance閱讀了該作品的更新版本，同意了他的證明非常先進, 他表示這将是一篇任何數學家都會為寫下而感到自豪的論文，況且他是高中生寫的。

拉森證明的關鍵是首先将他吸引到卡邁克爾數的工作：Maynard和陶哲軒關于素數間隙的結果。

當 Larsen 第一次着手證明總能在很短的時間内找到一個卡邁克爾數時，他表示，卡邁爾克數看起來切切實實存在，證明它又有多難呢？不過，他很快意識到這确實很難，并認為這是一個考驗我們時代技術的問題。

在Alford、Granville和Pomerance他們的年的論文中展示了如何創建無限多個卡邁克爾數。但是他們無法控制他們用來構建它們的素數的大小。這就是拉森需要做的事情, 建立規模相對接近的卡邁克爾數。問題的難度讓他的父親邁克爾·拉森（Michael Larsen）感到擔憂。“我不認為這是不可能的，但我認為他不太可能成功，”他說。“我看到他在這件事上花了很長時間, 我覺得如果他為此付出了這麼多自己卻沒有得到它，那對他将是毀滅性的打擊。”

不過，他父親也知道自己最好不要阻止。拉森父親說: “當拉森爾緻力于做他真正感興趣的事情時，他會不顧一切地堅持下去。”

所以拉森回到了Maynard的論文——特别是為了證明如果采用了某些具有足夠數字的序列，這些數字的某些子集一定是素數。拉森修改了Maynard的方法，将它們與Alford、Granville和Pomerance使用的方法相結合。這使他能夠确保他最終得到的素數大小不同——足以産生落在他想要的區間内的卡邁克爾數。

Granville說: “他對事情的控制比我們以往任何時候都多，他通過特别巧妙地利用Maynard的研究實現了這一點。” 芬蘭圖爾庫大學的數學家Kaisa Matomäki說：“将這一進展用于素數之間的短間隙并不容易。很高興他能夠将這個問題與關于卡邁克爾數字的問題結合起來。”

事實上，拉森的論點不僅允許他證明邁克爾數字必須始終出現在和之間。他的證明也适用于更小的間隔。數學家現在希望它也有助于揭示這些奇怪數字行為的其他方面。南卡羅來納州沃福德學院研究僞素數的數學家托馬斯賴特說: “這是一個不同的想法，它改變了很多關于我們如何證明卡邁克爾數的事情。”

目前，拉森剛開始在正在 MIT 讀大一。他不确定下一步他會解決什麼問題，但他很想知道那裡有什麼。他努力上課學習，并始終保持開放的心态。

Jon Grantham評價拉森說: 他在沒有本科教育的情況下完成了這一切，我很期待他上了研究生又會取得哪些成果。

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