高中物理 2018-12-16

力的合成和分解

一、标量和矢量

1．将物理量區分為矢量和标量體現了用分類方法研究物理問題的思想。

2．矢量和标量的根本區别在于它們遵從不同的運算法則：标量用代數法；矢量用平行四邊形定則或三角形定則。

矢量的合成與分解都遵從平行四邊形定則（可簡化成三角形定則）。平行四邊形定則實質上是一種等效替換的方法。一個矢量（合矢量）的作用效果和另外幾個矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用這一個矢量代替那幾個矢量，也可以用那幾個矢量代替這一個矢量，而不改變原來的作用效果。

3．同一直線上矢量的合成可轉為代數法，即規定某一方向為正方向。與正方向相同的物理量用正号代入．相反的用負号代入，然後求代數和，最後結果的正、負體現了方向，但有些物理量雖也有正負之分，運算法則也一樣．但不能認為是矢量，最後結果的正負也不表示方向如：功、重力勢能、電勢能、電勢等。

二、力的合成與分解

力的合成與分解體現了用等效的方法研究物理問題。

合成與分解是為了研究問題的方便而引人的一種方法．用合力來代替幾個力時必須把合力與各分力脫鈎，即考慮合力則不能考慮分力，同理在力的分解時隻考慮分力而不能同時考慮合力。

1．力的合成

（1）力的合成的本質就在于保證作用效果相同的前提下，用一個力的作用代替幾個力的作用，這個力就是那幾個力的“等效力”（合力）。力的平行四邊形定則是運用“等效”觀點，通過實驗總結出來的共點力的合成法則，它給出了尋求這種“等效代換”所遵循的規律。

（2）平行四邊形定則可簡化成三角形定則。由三角形定則還可以得到一個有用的推論：如果n個力首尾相接組成一個封閉多邊形，則這n個力的合力為零。

（3）共點的兩個力合力的大小範圍是

|F₁－F₂|≤ F_合≤F₁＋F₂

（4）共點的三個力合力的最大值為三個力的大小之和，最小值可能為零。

【例1】物體受到互相垂直的兩個力F₁、F₂的作用，若兩力大小分别為5

N、５N，求這兩個力的合力．

解析：根據平行四邊形定則作出平行四邊形，如圖所示，由于F₁、F₂相互垂直，所以作出的平行四邊形為矩形，對角線分成的兩個三角形為直角三角形，由勾股定理得：

N=10N

合力的方向與F₁的夾角θ為：

θ＝30°

點評：今後我們遇到的求合力的問題，多數都用計算法，即根據平行四邊形定則作出平行四邊形後，通過解其中的三角形求合力．在這種情況下作的是示意圖，不需要很嚴格，但要規範，明确哪些該畫實線，哪些該畫虛線，箭頭應标在什麼位置等．

【例2】如圖甲所示，物體受到大小相等的兩個拉力的作用，每個拉力均為200N，兩力之間的夾角為60°，求這兩個拉力的合力．

解析：根據平行四邊形定則，作出示意圖乙，它是一個菱形，我們可以利用其對角線垂直平分，通過解其中的直角三角形求合力．

N=346N

合力與F₁、F₂的夾角均為30°．

點評：

（1）求矢量時要注意不僅要求出其大小，還要求出其方向，其方向通常用它與已知矢量的夾角表示．

（2）要學好物理，除掌握物理概念和規律外，還要注意提高自己應用數學知識解決物理問題的能力．

2．力的分解

（1）力的分解遵循平行四邊形法則，力的分解相當于已知對角線求鄰邊。

（2）兩個力的合力惟一确定，一個力的兩個分力在無附加條件時，從理論上講可分解為無數組分力，但在具體問題中，應根據力實際産生的效果來分解。

【例3】将放在斜面上質量為m的物體的重力mg分解為下滑力F₁和對斜面的壓力F₂，這種說法正确嗎？

解析：将mg分解為下滑力F₁這種說法是正确的，但是mg的另一個分力F₂不是物體對斜面的壓力，而是使物體壓緊斜面的力，從力的性質上看，F₂是屬于重力的分力，而物體對斜面的壓力屬于彈力，所以這種說法不正确。

【例4】将一個力分解為兩個互相垂直的力，有幾種分法？

解析：有無數種分法，隻要在表示這個力的有向線段的一段任意畫一條直線，在有向線段的另一端向這條直線做垂線，就是一種方法。如圖所示。

（3）幾種有條件的力的分解

①已知兩個分力的方向，求兩個分力的大小時，有唯一解。

②已知一個分力的大小和方向，求另一個分力的大小和方向時，有唯一解。

③已知兩個分力的大小，求兩個分力的方向時，其分解不惟一。

④已知一個分力的大小和另一個分力的方向，求這個分力的方向和另一個分力的大小時，其分解方法可能惟一，也可能不惟一。

（4）用力的矢量三角形定則分析力最小值的規律：

①當已知合力F的大小、方向及一個分力F₁的方向時，另一個分力F₂取最小值的條件是兩分力垂直。如圖所示，F₂的最小值為：F_2min=Fsinα

②當已知合力F的方向及一個分力F₁的大小、方向時，另一個分力F₂取最小值的條件是：所求分力F₂與合力F垂直，如圖所示，F₂的最小值為：F_2min=F₁sinα

③當已知合力F的大小及一個分力F₁的大小時，另一個分力F₂取最小值的條件是：已知大小的分力F₁與合力F同方向，F₂的最小值為｜F－F₁｜

（5）正交分解法：

把一個力分解成兩個互相垂直的分力，這種分解方法稱為正交分解法。

用正交分解法求合力的步驟：

①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向

②把各個力向x軸、y軸上投影，但應注意的是：與确定的正方向相同的力為正，與确定的正方向相反的為負，這樣，就用正、負号表示了被正交分解的力的分力的方向

③求在x軸上的各分力的代數和F_x合和在y軸上的各分力的代數和F_y合

④求合力的大小

合力的方向：tanα=

（α為合力F與x軸的夾角）

點評：力的正交分解法是把作用在物體上的所有力分解到兩個互相垂直的坐标軸上，分解最終往往是為了求合力（某一方向的合力或總的合力）。

【例5】質量為m的木塊在推力F作用下，在水平地面上做勻速運動．已知木塊與地面間的動摩擦因數為µ，那麼木塊受到的滑動摩擦力為下列各值的哪個?

A．µmg Ｂ．µ（mg Fsinθ）

Ｃ．µ（mg Fsinθ） Ｄ．Fcosθ

解析：木塊勻速運動時受到四個力的作用：重力mg、推力F、支持力F_N、摩擦力F_µ．沿水平方向建立x軸，将F進行正交分解如圖(這樣建立坐标系隻需分解F)，由于木塊做勻速直線運動，所以，在x軸上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y軸上向上的力等于向下的力（豎直方向二力平衡）．即

Fcosθ＝F_µ ①

F_N＝mg Fsinθ ②

又由于F_µ＝µF_N ③

∴F_µ＝µ（mg Fsinθ）故Ｂ、Ｄ答案是正确的．

小結：

（1）在分析同一個問題時，合矢量和分矢量不能同時使用。也就是說，在分析問題時，考慮了合矢量就不能再考慮分矢量；考慮了分矢量就不能再考慮合矢量。

（2）矢量的合成分解，一定要認真作圖。在用平行四邊形定則時，分矢量和合矢量要畫成帶箭頭的實線，平行四邊形的另外兩個邊必須畫成虛線。

（3）各個矢量的大小和方向一定要畫得合理。

（4）在應用正交分解時，兩個分矢量和合矢量的夾角一定要分清哪個是大銳角，哪個是小銳角，不可随意畫成45°。（當題目規定為45°時除外）

三、綜合應用舉例

【例6】水平橫粱的一端A插在牆壁内，另一端裝有一小滑輪B，一輕繩的一端C固定于牆上，另一端跨過滑輪後懸挂一質量m=10kg的重物，∠CBA＝30°，如圖甲所示，則滑輪受到繩子的作用力為（g=10m/s²）

A．50N B．50

N C．100N D．100

N

解析：取小滑輪作為研究對象，懸挂重物的繩中的彈力是T＝mg=10×10N=100N，故小滑輪受繩的作用力沿BC、BD方向的大小都是100N，分析受力如圖（乙）所示．∠CBD＝120°，∠CBF＝∠DBF，∴∠CBF=60°，⊿CBF是等邊三角形．故F＝100N。故選C。

【例7】已知質量為m、電荷為q的小球，在勻強電場中由靜止釋放後沿直線OP向斜下方運動（OP和豎直方向成θ角），那麼所加勻強電場的場強E的最小值是多少？

解析：根據題意，釋放後小球所受合力的方向必為OP方向。用三角形定則從右圖中不難看出：重力矢量OG的大小方向确定後，合力F的方向确定（為OP方向），而電場力Eq的矢量起點必須在G點，終點必須在OP射線上。在圖中畫出一組可能的電場力，不難看出，隻有當電場力方向與OP方向垂直時Eq才會最小，所以E也最小，有E=

點評：這是一道很典型的考察力的合成的題，不少同學隻死記住“垂直”，而不分析哪兩個矢量垂直，經常誤認為電場力和重力垂直，而得出錯誤答案。越是簡單的題越要認真作圖。

【例8】輕繩AB總長l，用輕滑輪懸挂重G的物體。繩能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端緩慢向右移動d而使繩不斷，求d的最大可能值。

解：以與滑輪接觸的那一小段繩子為研究對象，在任何一個平衡位置都在滑輪對它的壓力（大小為G）和繩的拉力F₁、F₂共同作用下靜止。而同一根繩子上的拉力大小F₁、F₂總是相等的，它們的合力N是壓力G的平衡力，方向豎直向上。因此以F₁、F₂為分力做力的合成的平行四邊形一定是菱形。利用菱形對角線互相垂直平分的性質，結合相似形知識可得

d∶l =

∶4，所以d最大為

【例9】A的質量是m，A、B始終相對靜止，共同沿水平面向右運動。當a₁=0時和a₂=0.75g時，B對A的作用力F_B各多大？

解析：一定要審清題：B對A的作用力F_B是B對A的支持力和摩擦力的合力。而A所受重力G=mg和F_B的合力是F=ma。

當a₁=0時，G與F_B二力平衡，所以F_B大小為mg，方向豎直向上。

當a₂=0.75g時，用平行四邊形定則作圖：先畫出重力（包括大小和方向），再畫出A所受合力F的大小和方向，再根據平行四邊形定則畫出F_B。由已知可得F_B的大小F_B=1.25mg，方向與豎直方向成37^o角斜向右上方。

【例10】一根長2m，重為G的不均勻直棒AB，用兩根細繩水平懸挂在天花闆上，如圖所示，求直棒重心C的位置。

解析：當一個物體受三個力作用而處于平衡狀态，如果其中兩個力的作用線相交于一點．則第三個力的作用線必通過前兩個力作用線的相交點，把O₁A和O₂B延長相交于O點，則重心C一定在過O點的豎直線上，如圖所示由幾何知識可知：

BO=AB/2=1m BC=BO/2=0.5m

故重心應在距B端0.5m處。

【例11】如圖（甲）所示．質量為m的球放在傾角為α的光滑斜面上，試分析擋闆AO與斜面間的傾角β為多大時，AO所受壓力最小？

解析：雖然題目問的是擋闆AO的受力情況，但若直接以擋闆為研究對象，因擋闆所受力均為未知力，将無法得出結論．以球為研究對象，球所受重力産生的效果有兩個：對斜面産生的壓力N₁、對擋闆産生的壓力N₂，根據重力産生的效果将重力分解，如圖（乙）所示，

當擋闆與斜面的夾角β由圖示位置變化時，N₁大小改變但方向不變，始終與斜面垂直，N₂的大小和方向均改變，如圖（乙）中虛線由圖可看出擋闆AO與斜面垂直時β=90°時，擋闆AO所受壓力最小，最小壓力N_2min=mgsinα。

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