在本系列的第一篇文章中量子力學的本質，測量和自旋的數學原理 ，我們概述了一些基本的物理直覺，并描述了量子物理與日常生活中的經典物理的一些不同之處。經典物理學和量子物理學之間最重要的區别是，量子物理學往往違反經驗直覺，因此最好的理解是抽象的數學形式主義。在我們繼續建立這個形式主義之前，我們需要複習一些數學基礎。

基礎的第一步就是要熟悉複數。量子物理的大多數數學形式都是用複數來表示的，如果僅僅用實數來表示這種形式，如果可能，也是極其麻煩的。

解釋複數的最好方法是把它們作為實數域的擴展來引入。因此，我們的第一步必須是解釋什麼是域。一個域（F， ， ×），或簡單地說F，是一組結合了兩個二元運算 和×的對象（稱為加法和乘法）足域公理。我們經常省略乘法符号，直接寫“ab”而不是a×b。二元運算是将一個值賦給一對對象的操作。加法是二元運算的一個例子，把兩個數相加得到第三個數。這與一元元不同，一元運算隻接受一個元素（如平方根運算）。

域公理如下：

• 閉包：若a，b∈F，則a b∈F, a×b∈F。
• 恒等式：在F中存在元素1和0（不一定是數字1和0），分别稱為乘法恒等式和加法恒等式。它們的性質是對所有a∈F，a×1 = a，a 0 = a。

求逆：對于每個a∈F，都存在-a和1/a，分别稱為加逆和乘逆。它們的性質是a (-a) = 0，a×(1/a) = 1。0是特例，它沒有乘逆。

• 交換律：a b =b a和a×b=b×a。
• 結合律：(a b) c = a (b c)和(a×b)×c = a×(b×c)。
• 分配律：a×(b c) = (a×b) (a×c)。

知道一些線性代數的人可能會注意到它與向量空間公理非常相似。這不是巧合，一個域是它自身的一個向量空間，向量的加法運算是域的加法運算，标量的乘法是域的乘法運算。

有理數和實數都是非常重要的域。給定的任何域F，有一些與F相關的重要域 。第一個是來自F的多項式的所有系數的域，用 F[x]表示。第二個重要的域是F的擴展。

給定一個域F，我們可以通過鄰近元素α（它不是F的元素）得到F的擴展，對于所有a,b∈F，我們稱得到的擴展域F(α)及其元素為a bα。當然，我們可以将元素附加到這個擴展域，例如(F(α))(β) = F(α，β)，這是一個域，其元素是a bα cβ（對所有a, b, c∈F）。熟悉線性代數的人會注意到這個擴展就像F上的向量空間一樣，它的基是{1，α， β}，這一事實在域及其擴展的理論中是極其重要的。當域擴展的基底中有n個元素時，我們說域擴展是有限的，有n次。

那我們為什麼要費這個勁呢？

假設我們有一個域F和一個多項式p(x)∈F[x]，即一個多項式的系數是F的元素，但不需要p(x)的根也是F的元素。例如多項式x²-2的根是±√2。系數1和2是有理數，所以這個多項式是ℚ[x]的一個元素，然而，它的根不是有理數。因此，x²-2的根域，也就是最小的域（最小是因為沒有合适的子域也包含x² 2的根）是ℚ(√2)。由于我們剛剛看到存在一個多項式，其系數來自ℚ，但其根不是ℚ的元素，我們說ℚ不是代數封閉的。但ℚ(√2)也不是，因為考慮多項式x²-3√2的根是 ±(√3)√(√2)，它們不是ℚ(√2)的元素，因為√3不是ℚ(√2)的元素。

事實上，我們可以證明ℚ的有限擴展沒有代數閉的。我們可以嘗試實數，它是有理數的無限擴展，但ℝ也不是代數封閉的，因為多項式x² 1的根是±√(-1)，它不是一個實數，因為任何實數的平方都必須是正的。

為了解決這個問題，我們發明了一個新數字i=√(-1)，并将這個數字與ℝ鄰接，得到ℝ(i)，也就是衆所周知的ℂ，這是一組複數。利用複分析的方法，可以證明代數的基本定理，即任何系數取自ℂ的多項式，其根在ℂ。

本節的目的是演示複數的起源:ℂ是有理數和實數的代數閉包。任何系數來自ℂ的多項式，當然也包括其子集ℚ和ℝ，都起源于ℂ。

複數實際遵守的規則要簡單得多，它們的行為或多或少與我們預期的方式一緻。設u = a ib, v = c id。基本的域運算是标準的加法和乘法：

• 加法，将實部和虛部分别相加，(a ib) (c id) = (a c) i (b d)。
• 乘法，(a ib)(c id) = ac-bd i(ad bc)，記住i²= -1。

我們可以取複數的幂，我們可以求出它們的n次方根，等等。但是也有一些特殊的新運算。

• 複共轭：給定一個複數z = a ib，z的複共轭是a-ib。
• Re{z}和Im{z}：分别是z的實部和虛部。Re{a ib} = a，Im{a ib}= b。
• z的大小：也稱為z的模量或絕對值。記作|z|。

複共轭允許我們對複數進行除法。隻需将分子和分母同時乘以分母的複共轭:

現在我們将證明一個著名的，極其重要的結果。

歐拉恒等式允許我們定義一個非常重要的函數叫做複指數：

這個公式傳統上是用幂級數來證明的。注意：

此外，請注意：

k是任何大于等于0的整數。現在我們用指數，正弦，餘弦函數的幂級數表示來證明歐拉恒等式：

證畢！

用複平面（有時也稱為高斯平面）上的一點來表示複數非常方便，實部在一個軸上，虛部在另一個軸上的坐标系統：

這種圖被稱為阿根圖，以法國數學家讓-羅伯特阿根的名字命名。

回想一下，我們定義了一個複數a ib的大小為√(a² b²)，這是一個長度為a和b的直角三角形斜邊的長度。因此，一個複數的大小就是它到原點的距離。r = |a ib| =√(a² b²)

根據基本的三角函數，a = r×cos(θ)， b = r×sin(θ)， θ = arctan(b/a)。因此z = a ib = r×(cos(θ) i×sin(θ))。因此，利用歐拉恒等式，我們可以用極坐标形式表示z：

當我們用z的實部和虛部來表示z及其在複平面上的位置時，已經用直角坐标或者笛卡爾坐标的形式來表示z了。

你可能聽說過複數可以被認為是在平面上旋轉和拉伸向量的變換。事實上，複數不僅可以看作是在平面上旋轉和拉伸向量的變換，它們是這樣的轉換的集合，從某種意義上說，每個複數（0除外）都表示這種類型的轉換。

假設有向量(2,3)，将向量逆時針旋轉47.5度，然後将向量的長度縮放0.7倍，然後再順時針旋轉25度，最後将向量縮放1.5倍，求其坐标值。最直接的方法是通過一系列變換矩陣求得：

新坐标約為(0.735，3.714)。

矩陣乘法非常繁瑣，所以我們可能會問，是否有更簡潔的方法。幸運的是，利用複數，我們可以很容易求得。首先将向量(2,3)表示為複數2 3i。極坐标是√(13)×exp{i×56.31}。第一個變換矩陣用0.7×exp{i×47.5°}表示，第二個變換矩陣用1.5×exp{-i×25°}表示，取負号是因為旋轉是順時針的。要找到新向量的複數表示，隻需将它們相乘：

在三維空間中，如果我們試圖隻使用矩陣乘法來執行這些運算，将會變得非常困難。但是，正如我們可以更容易地使用複數來進行二維變換計算一樣，我們可以将複數擴展到一個叫做四元數的新系統，并使用四元數代數來有效地進行這些運算。四元數是一個非常有趣的主題，我肯定會在将來的某個時候寫它（感興趣的關注老胡說科學），但這篇文章是為了量子力學而來的。

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