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史上最牛的奧賽數學

生活更新时间:2024-04-28 20:02:50

德國能夠在二戰結束後的幾十年裡發展成世界第4大、歐洲最大的經濟體，德國的教育功不可沒。雖然在各大高校排名中，德國大學的表現并不搶眼，但是德國獲得諾貝爾獎的人數卻達到了100多人，不得不說德國教育也是獨樹一幟，非常的成功。今天和大家分享一道德國初中數學奧賽題。

史上最牛的奧賽數學（德國數學奧賽題）1

題目如上。這道題目的難度還是挺大，x的形式比較複雜，難住了不少的考生。如果按照最常用的思路，那就是将x的值代入計算，但是如此一來計算量可是非常的大。反正我是沒有興趣計算下去了，那麼肯定有簡單方法。那究竟是什麼方法呢？

其實這道題考查的無非就兩個公式：立方差公式、完全立方公式。

史上最牛的奧賽數學（德國數學奧賽題）2

關于立方的這幾個公式，目前在國内初中數學教材中已經删除不做要求了，但是這幾個公式在作業還是不時會遇到，而且到了高中階段更是經常會用到。這幾個公式在高中一般不會重點講解，這也很容易造成知識點的脫節，所以從學習的角度來說，還是應該掌握這幾個立方公式。

史上最牛的奧賽數學（德國數學奧賽題）3

先來看一下本題會用到的立方差公式。

立方差公式用文字表述就是：兩個數的差乘以兩數的平方和與它們的積的和，等于這兩數的立方差。

這個公式在本題怎麼用呢？這是本題的一個難點：求x的值。

先觀察x的形式，如果将4看成2的平方，那麼x就可以看成兩個數的平方和與它們之積的和，然後再乘以這兩個數之差，就可以簡化計算求出1/x的值。

史上最牛的奧賽數學（德國數學奧賽題）4

求出1/x的值後，可以直接代入所求代數式求值，但是計算量還是比較大，所以先對其進行變形，這就用到另外一個立方公式：完全立方公式。

完全立方公式的特點非常鮮明，那就是按照某一字母的降幂排列後系數分别為1、±3、±3、1，所以看到這樣的系數就要考慮是否可以用完全立方公式。

題目中所求式子從後面往前看，系數分别為1、3、3，這與完全立方非常接近，隻差了一個1，所以可以考慮先加“1”再減“1”，加上“1”後就可以和現在的部分構成一個完全立方的形式，從而減少計算量。

史上最牛的奧賽數學（德國數學奧賽題）5

另外，後面這個式子如果不能直接看出用完全立方公式，那麼可以先通分。通分後分子就成了3x² 3x 1，隻要分子加上x³同樣可以配成完全立方的形式。當然，能夠直接看出來更好，并且計算也會更加簡單。

下面附上完整的解題過程：

史上最牛的奧賽數學（德國數學奧賽題）6

本題的難點體現在兩點：一是立方公式在初中階段已經删除；二是就算知道立方公式，但是對于複雜形式的立方公式的應用也是難點。你覺得這題難嗎？

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