Ø方法導讀

等體積法:顧名思義就是利用幾何體的體積相等進行轉換求解幾何體的體積和點到平面的距離等問題.縱觀近幾年的高考試題,我們不難發現立體幾何考題,經常考查求點到面的距離和幾何體體積的計算問題,同學們在解答時往往因空間想象能力不強,不容易直接找到幾何體的高線(點到平面的距離)而無法繼續求解,而且有時作出輔助線也不容易計算出結果.這時如果能想到等體積法,則可以給我們“柳暗花明又一村”的感覺.下面就我們就2019全國I卷文科第19題為例,感受一下等體積法的應用給我們帶來的好處.

Ø高考真題

【2019·全國I卷文·19】如圖直四棱柱

的底面是菱形

,

,

,

,分别是

的中點.

(1)證明:

平面

;

(2)求點C到平面

的距離.

Ø解題策略

該題考查的是有關立體幾何的問題,涉及到的知識點有線面平行的判定,點到平面的距離的求解,在解題的過程中, 注意要熟記線面平行的判定定理的内容, 注意平行線的尋找思路,再者就是利用等積法求點到平面的距離是文科生常考的内容.

Ø解題過程

Ø解題分析

(1)利用三角形中位線和

,

,可證得

,

,證得四邊形

為平行四邊形,進而證得

, 根據線面平行判定定理可證得結論;

(2)根據題意求得三棱錐

的體積,再求出

的面積,利用

求得點C到平面

的距離, 得到結果.

Ø拓展推廣

1.等體積法求幾何體的體積

(1)同一幾何體等體積轉換

等體積法一般應用于三棱錐中,如要求三棱錐

的體積,但不易求得A點到平面BCD的距離,即三棱錐的高無法求得,如果點B到平面ACD的距離容易求得,我們可以利用

進行求解.

在求解三棱錐或四面體的體積時,要注意觀察圖形中是否有線面垂直,我們盡可能尋找以原幾何體的表面為底面,再尋找底面上的高,利用等體積法計算幾何體的體積.

(2)不同幾何體等體積轉換

等體積法求幾何體的體積也可以利用面積相等和高相等在不同的幾何體中進行轉化使用,即隻要判斷兩三棱錐等底等高就可以利用等體積法求體積.

在求三棱錐的體積時,如果三棱錐底面上的高不易求出,常常通過換頂點運用等體積法求解,換成容易找到底面上的高的棱錐的體積求解,有時還可以利用三棱柱等分為三個等體積的三棱錐進行轉化求解,也可以通過平行線上的點到同一平面的距離相等轉化求解,或利用三角形相似對應邊成比例計算出相應底面上的高,求得幾何體的體積.

2.等體積法求點到平面的距離

在求空間幾何體中的點到平面的距離時,往往很難作出垂線段,即便是作出輔助線也不容易通過已知條件計算其長度,此時,我們常常選用等體積法求解點到平面的距離.例如,如果三棱錐A-BCD中頂點A到底面BCD的距離d不易求出,而頂點B到平面ACD的距離h容易求解,就可以利用等體積法

,即

求解.

利用等體積法求點到平面的距離時,要先選擇好所求幾何體的頂點和底面,盡可能轉化為以原幾何體的面為底面,以便于計算,再結合所學知識求出底面的面積,利用三棱錐的體積公式計算出點到平面的距離.

3.等體積法求直線與平面所成的角

斜線與平面所成的角是由斜線與斜線在平面的射影所組成的圖形.而斜線在平面内的射影與平面的垂線密不可分,所以在求線面夾角的時候,常利用斜線段、垂線段和斜線段在平面内的射影所組成的直角三角形來求解.

因此,在解題時可考慮先用“等體積法”求出點面距離( 即垂線段的長度) ,然後利用直角三角形中的正弦關系,便可求出所求線面角的正弦值,從而避免了找射影和确定線面角的麻煩.

4.等體積法求二面角的平面角

尋找二面角的平面角常用“三垂線法”.可以用“等體積法”求出點面距離. 再結合平面外一點到二面角的棱的距離,就可以利用直角三角形的邊角關系求出二面角的平面角的正弦值.

變式訓練1

變式訓練2

變式訓練3

變式訓練4

變式訓練5

正三棱錐的高為1,底面邊長為

,正三棱錐内有一個球與其四個面相切,求球的表面積與體積.

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