這是《機器學習中的數學基礎》系列中的第10篇，也是微積分系列的第3篇。

我們經常要求函數的導數，煩惱于那些公式記不住，今天就讓我們用面積法來求出函數的導數。話不多說，先來看第一個函數y=x²，怎麼用面積來求導呢？

我們先畫一個正方形，它的邊長是x，則正方形的面積就是x²，如下圖：

别忘了導數的定義，自變量x增加一個微小的量dx，看函數的變化率是多少，這裡也就是看正方形面積的變化率是多少。我們再畫一個圖來表示：

上圖中藍色線圍起來的面積就是正方形增加的面積dy，不難算出，dy=2xdx (dx)²。當dx取很小的值時，dy=2xdx。兩邊同時除以dx，得到dy/dx=2x。這就是我們要求的y=x²的導數。

好，看完上面簡單的一個例子，我們再來看一個函數：y=1/x。它的導數怎麼用面積法來求呢？

看上去很複雜，但是别慌，我們先觀察y和x的關系，我們發現x*y=x*(1/x)=1，也就是說自變量x和因變量y的乘積永遠等于1。那我們就可以構造一個長方形，讓它的長為x，寬為y，面積始終是1，如下圖：

現在我們給x增加一個微小的量dx，看看面積會發生什麼變化：

如上圖，當x增加了dx時，因為整個長方形的面積是1，寬必須被壓縮，也就是說y是在減小的，我們要求的就是y的變換量，也就說上圖中問号的長度。

怎麼求呢？不難看出，因為長方形的面積始終是1，變化後的長方形的寬為1/(x dx)。因此，問号處的長度就是原來長方形的寬1/x減去現在長方形的寬1/(x dx)，即

1/x-1/(x dx)=dx/x(x dx)。

别忘了導數的定義是變化率，我們用這個變化量除以dx，得到1/x(x dx)。當dx趨近于0時，可以認為變化率就是1/x²。但是還有一點注意，當x增加時，y是減小的，所以要在變化率前加一個負号，即-1/x²。因此，y=1/x的導數就是-1/x²。是不是感覺很酷呢？

讓我們繼續前行，看最後一個例子，y=sin(x)的導數又該怎麼求呢？

穩住，别慌。我們先畫一個單位圓：

如上圖，是一個半徑為1的單位圓。我們已知，在弧度制下，弧長公式為l=r*x。其中r為圓的半徑，x是弧度。因此，函數y=sinx體現在單位圓中，自變量就是弧長x，因變量y就是線段AB的長度。現在我們給x增加一個微小變量dx，看看y是如何變化的，如下圖：

如圖，我們給dx增加了一個微小量dx，也就是弧長EF，那麼y的變化就是垂直方向的線段ED。我們要求的導數，也就是dy/dx，也就是ED/EF。當dx很小時，弧長EF可以看成線段EF，而且有EF⊥OF。因此，不難看出∠FED就等于x（弧度），而ED/EF=cos∠FED。所以我們有dy/dx=cosx，也就是說函數y=sinx的導數就是cosx。

這就是今天的全部内容，你都明白了嗎？歡迎留言讨論。

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