橢圓面積公式推導微積分-tft每日頭條

橢圓面積公式推導微積分

生活更新时间:2024-09-05 11:19:21

這種方法也許不是非常嚴謹，但卻較為直觀和形象。

考慮一根圓柱形的水管，它的半徑(内徑)為a,若垂直圓柱的軸線，切下這根圓柱，則這根水管的截面是一個圓形。且截面的面積為πa²

橢圓面積公式推導微積分（用初等方法推導橢圓面積公式）1

一根圓柱形水管，它的半徑(内徑)為a

圓柱形的截面除了是圓形還有很多可能，比如橢圓形。

橢圓面積公式推導微積分（用初等方法推導橢圓面積公式）2

半徑相同的圓柱，它的圓形截面和橢圓形截面

下圖為在一個圓柱體水管的一部門，中間部位畫出了假想的圓形截面，和假想的橢圓形截面，圓形截面和圓柱體上下底面全等且平行，橢圓截面是傾斜一定角度截出來的，傾斜角為θ，從圖中可以看出，這個橢圓截面半短軸為a,半長軸為a/cosθ。設想某時間段水管裡充滿了水，并流過，那流過水管的水流量和你的假想截面無關，水流量不會因為你畫不同的假想截面而改變，否則大家都是神筆馬良了。

橢圓面積公式推導微積分（用初等方法推導橢圓面積公式）3

一段水管兩個假想截面，一個截面是和上下底相同的圓形，另一個是半長軸為a/cosθ,半短軸為a的橢圓

通過圓形截面和通過橢圓形截面的水流量相等，那我們應該再思考下通過各種不同面的流量的表達式。考慮極限情形，如果水流，流動的方向和一平面平行，那流過這個平面的的流量應為零。下圖是水流方向和平面垂直、平行、呈60°角時的流量情形。可從直觀上理解，和平面垂直時流量是最大的，和平面平行時流量最小。如果平面面積為s,夾角為θ，水的流速為v，則流過這個面的流量即水的體積就為s× v×cosθ

橢圓面積公式推導微積分（用初等方法推導橢圓面積公式）4

之前說過流過圓形和橢圓形的流量相等，但圓形平面和流動方向垂直，相當于夾角為0,cos0=1;而橢圓平面和流動方向呈θ°的夾角。我們可以列出方程

s(圓形)×v=s(橢圓)×v×cosθ

則橢圓面積:s(橢圓)=s(圓形)÷cosθ=π×a/ cosθ×a

我們之前知道a是橢圓的半短軸，而a/cosθ是半長軸。所以橢圓面積公式為:πab(π乘以半長軸再乘以半短軸)。

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