貝葉斯全名為托馬斯·貝葉斯(Thomas Bayes，1702-1761)，18 世紀英國神學家、數學家、數理統計學家和哲學家，概率論理論創始人，貝葉斯統計的創立者，“歸納地”運用數學概率，“從特殊推論一般、從樣本推論全體”的第一人。

前言

一群賭徒為了赢錢，琢磨出概率；一個神學家，為了弄清上帝會不會擲骰子，發明了從結果推導原因的統計學公式。這個世界是夢想和利益驅動的，貝葉斯公式将從統計學角度為我們打開一扇大大的門。

通過《女朋友生氣是随機事件》我們探讨了一些有趣的概率知識，本篇文章将從貝葉斯公式出發，探究貝葉斯到底是啥，以及其在認知層面的巨大作用。不過據說每出現 1 個公式，文章閱讀将下降 1/3。

華為大佬說：人工智能就是統計學。在我眼中，貝葉斯公式就是統計學走向機器學習的起點。

貝葉斯定理（Bayes’s Rule）：如果有k個相互獨立事件 A1,A2···，Ak 并且，P (A1) P(A2) ... p(Ak)= 1 和一個可以觀測到的事件 B，那麼有：

這個就是貝葉斯公式，相當簡潔。

公式中有幾個關鍵概念：P(A)為先驗概率，即在觀察事件B之前得到的事件A的假設概率P(A|B) 為後驗概率，即在觀察事件B後得到新數據後計算該假設A的概率P(B|A)為似然度，即在該假設A下得到這一觀察數據 B 的概率P(B)為标準化常量，即在任何假設下得到這一觀察數據 B 的概率

用一句人話表達則是：

後驗概率 = 先驗概率×似然度

說到貝葉斯，必然離不開條件概率。

01 / 條件概率

條件概率的公式

條件概率翻譯過來就是事件B發生條件下A發生的概率,等于 AB 同時發生的概率比上 B 發生的概率。看着和貝葉斯及其相似, 實際上貝葉斯公式也是通過條件概率來證明的，具體就不贅述了。

02 / 貝葉斯公式 VS 條件概率

條件概率是頻率統計思維，通過已知的信息去計算事件出現概率，我們稱之為正向概率；貝葉斯公式反其道而行之，通過實驗結果去反推出現實驗結果的原因，我們稱之為逆概率

上面這段話聽着太拗口。我們用經典的摸球行為進行說明。

1

選擇略微複雜點的場景：有兩個桶，A 桶中有白球 7 個，黑球 3 個；B 桶中有白球 3 個，黑球 7 個。随機選擇一個桶，有放回的抓球。

2

條件概率解決的問題是：摸到白球的概率是多少？

3

貝葉斯公式解決的問題是：我們摸 5 次，出現 3 次白球，2 次黑球，從 A 桶摸球的概率。

條件概率解法：

通過先驗知識，我們可以知道随機選擇一個桶概率 P(A)=P(B)=0.5通過頻率統計知識，我們可以算出條件概率 P(白球|A)=0.7 P(白球|B)=0.3因此在已知知識的情況下，我們預測摸到白球的概率 0.5X0.7 0.3X0.7 = 0.5

貝葉斯公式解法：

那貝葉斯需要計算的是 P(A|x 球)，出現x顔色球條件下選擇A桶的概率。我們從第一次摸白球開始計算。P(A|白球 1) = P(A) x P(白球|A)/P(白球) = 0.5 x 0.7/0.5 = 0.7這個結果的含義是第一次出現白球，則我們随機選擇 A 桶的概率将從 0.5 變為 0.7

同樣的計算第二次選擇白球的概率 P(A|白球 2) = P(A) x P(白球|A)/P(白球) = 0.7 x 0.7/(0.7x0.7 0.3x0.3) = 0.8448重複計算下來，可以得到 A 桶的概率是 0.7即可以理解為每次不同的觀察結果，對于原因會産生影響。白球增加 A 桶的概率，黑球減少 A 桶的概率。

可以看到貝葉斯更加符合我們認知世界的方式。現實世界中，我們往往能觀察到大量的現象，我們更加關心現象背後的原因。比如一段文本出現大量的特征，我們會去判斷是不是垃圾郵件；比如一個女生同意和你吃飯，是不是對你有好感。

貝葉斯與認知

上面的例子偏向于太學術。按照人話來看貝葉斯公式其實就是 後驗概率 = 先驗概率×似然度。簡單的，我們認知一個新的事物前，先驗概率就是我們的感性認知。似然度則是我們需要深度思考，去認真對待的調節因子。

可以看到：

似然度 > 1, 加強先驗概率/感性認知

似然度 = 1，後驗概率=先驗概率

似然度 < 1, 減弱先驗概率/感性認知

從上面的例子可以看到，似然度的影響因子主要有兩個：一是增加新數據的量，二是增加新數據的質。

依然舉個栗子：男孩子追女孩子，總會好奇女孩子是否對自己有興趣。

自戀的同學會說，我的女神一直看我，肯定對我有好感。

理性的同學将這個場景轉化為貝葉斯公式：P(好感|看我)= 先驗感覺 * 似然度。從理性角度，先驗經驗“看我和對我有好感”其實沒有太多必然聯系，因此概率上可以按 0.5。我們為了求證 P(好感|看我)确實很高，我們就需要更多的觀察數據來支持我們的結論。

比如女生是高冷女孩，那麼她認真看你，這個新增的數據代表每次看你的質量是很高的，當然似然度會大于 1.如果女生也經常盯着男生看，但是看我的次數更多，這個其實是增加了數據的量，似然度也會大于 1。因此理性的人判斷 P(好感|看我) 會比較高。

可以看到自戀的同學是将先驗經驗設置得太高，以至于忽略了似然度的觀察，理性的同學弱化先驗經驗，加強了似然函數。這其實對應了兩類人，強經驗弱似然函數和弱經驗強似然函數。如下圖

兩種人不能說誰優于誰，強經驗的人，後驗概率的波動較小。弱經驗的人，根據貝葉斯公式，更利于輸入新的數據，完成後驗概率的更新。

總結

2021 年，提升認知成為共識。按照貝葉斯定理，處于認知更新的我們，應該弱化我們的經驗，觀察世界強化似然度，從而更新自己的觀點。像喬幫主所說：stay hungry。

在幾百年前，貝葉斯就給出了從逆概率思考的科學框架，實在是佩服。

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