10分鐘理解微積分?在極限論中已經知道，初等函數在其自然定義域内是各點連續的，相關函數在定義域内的極限僅是計算其函數在極限點上的值即可，這是一件簡單到幾乎無意義的事情自然，《高等數學》不可能如此的簡單，總得找一些不那麼平凡的事情才可能有非凡的拓展對于某一個函數F(x)，下面引入一個相關函數來觀察其函數極限：，我來為大家科普一下關于10分鐘理解微積分?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

10分鐘理解微積分

在極限論中已經知道，初等函數在其自然定義域内是各點連續的，相關函數在定義域内的極限僅是計算其函數在極限點上的值即可，這是一件簡單到幾乎無意義的事情。自然，《高等數學》不可能如此的簡單，總得找一些不那麼平凡的事情才可能有非凡的拓展。對于某一個函數F(x)，下面引入一個相關函數來觀察其函數極限：

g(x) = (F(x0 x) - F(x0))/ x

上式中的x0暫視為一個常數。

顯然，函數g(x)在其x=0的點上無定義（即此點不屬于g(x)的自然定義域）。此外還可看出，若要使g(x)在x=0點上為第一類間斷點（以後可以看到這是個要求滿足的基本條件），就必須要求lim[x→0]F(x0 x) = F(x0)，即F(x)在x=x0點連續。現在就讨論函數g(x)在x=0點上的極限。由于g(x)在x=0點上非連續，故不可能通過此點上的函數值（g(0)無定義）得其極限。如下分幾種情況讨論：

1）F(x)在x0點上不連續。顯然，lim[x→0] g(x)發散。

2）F(x)在x0點上連續（即g(x)在x=0點上是個待定型），g(x)在x=0點上的左右極限發散。

3）F(x)在x0點上連續（即g(x)在x=0點上是個待定型），g(x)在x=0點上的左右極限存在但不相等。

4）F(x)在x0點上連續（即g(x)在x=0點上是個待定型），g(x)在x=0點上的左右極限存在且相等。

上述情況1和2中，g(x)在x=0點上都無極限存在。而在情況3和4中，可以通過g(x)在x=0點上所存在的左右極限來定義函數F(x)的某些特性，即以後要看到的微分（導數）。

微分其實就是極限論中的待定型，而由于待定型自身就是個随各種問題變化無窮的東西，所以說微分是個适應性很強的分析工具。

如果lim[x→0] g(x)存在，則得到一個與x0有關的數，令其為f(x0)（或F'(x0)）。再将前面暫視為常數的x0視為自變量，用x代替，則得到一個與F(x)關聯的新函數f(x)（以後會知道這就是F(x)的導函數）。此地其實建立了一個映射

d/dx:X→Y

其中，X和Y為一元實函數集合，d/dx是個算符（或稱算子）。顯然，這不是個單射，即F(x)和F(x) C具有同一個像，其中C為常數。非單射按理無逆映射，但若忽略所相差的常數C則可建立上述映射的“逆映射”

∫:X→Y

這就是以後将介紹的不定積分——F(x) = ∫f(x)dx，這裡的“不定”意指存在待定常數C。

有一類問題需要将某個整體細分，然後将各細分的部分按某種近似簡化計算後再累加起來作為整體的一個近似。若随着不斷地進一步細分，作為整體近似的各細分累加和可以一個無窮小量誤差接近于某個定值，則取其作為累加和的極限。其實，如果将不斷進一步細分的累加和視為一個數列{S(n)}，這就是個數列極限——lim[n→∞] S(n)。随着n的增加，細分項數不斷地增加（最終趨于無窮），而每個細分項的絕對值随之變得更小（最終趨于零）。顯然，這是個無窮多個無窮小量相加的問題，即∞*0（待定型的一種）。後面會看到，極限lim[n→∞] S(n) = S就是所謂的定積分。以後還會發現，不定積分和定積分将由牛頓-萊布尼茲公式關聯。

到目前為止，所讨論的函數都是一元實函數，故相關微積分也稱為一元微積分。如果一個方程中不僅含一般的初等運算，而且還含有微積分運算且相關自變量僅有一個（即一元），則稱此類方程為常微積分方程。由于方程中的積分一般可以通過微分消除，因此通常将此類方程稱作《常微分方程》。《常微分方程》若展開基本可以是一部相關的專著，可見其内容的豐富。常微分方程也是《高等數學》在其他學科中應用的重點。有一大類一元問題可以通過相關學科的基本原理和定律确定其相應的常微分方程，然後就是通過常微分方程的求解得到相關的理論結果。

至此，我們看到一元微積分内含有其基本的四大部分，即

1）微分

2）不定積分

3）定積分

4）常微分方程

後面将對各部分分别作相應的介紹。

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