有趣的《數陣圖》解題技巧學習

數陣圖解題指導，大家好我是小梁老師。這節課我們來學習填數陣。

一、認識幻方和數陣

把一些數填人橫豎都相等的圖形中，使圖中每一行、每一列和對角線上的各個數之和都相等，從而形成的方陣圖叫做幻方。常見的有三階幻方和五階幻方。數陣是由幻方演化而來的，将幻方加以變化就形成了“數陣圖”，數陣中常見的有方陣圖(又可分為實心方陣和空心方陣兩種)、輻射型數陣和封閉型數陣，還有複合型數陣。今天的例題就給同學們介紹一些填數陣圖的方法和小竅門。

二、解答幻方和數陣的關鍵

解答幻方和數陣圖的關鍵是抓住圖中容易填的部分，特别是圖的中心，然後再填其他部分。

我國古代就對幻方與數陣有深入的研究，并且進行了幻方編制，常見的方法有九子排列、上下對易、四維挺出、左右相更，三階幻方中每行、每列、每條對角線上的幾個數之和都相等，這個相等的和叫“幻和”。

編制幻方應注意幾點：

1.幻和＝中心數×3

2.正中間數＝幻和÷3

3.幻和＝9個數之和÷3

4.9個連續的自然數中，第2、4、6、8個數是四個角上的數，而第5個數是中心數。

下面我們通過一些例題來學習掌握數陣的解決方法。

難題點撥①

把1～9這九個自然數填入下邊的九宮格内，使它們的橫列、縱列及對角線的三個數的和都相等(每個數字用一次，如圖)。

解題分析：這就是我們常常提到的“三階幻方”。填這個圖要注意以下幾點：

⑴因為題目要求“橫列、縱列及對角線”上的三個數的和全相等，就必須将1～9的中間數“5”填在圖的正“中心”，以便讓四周所有的數都和它“相加”;

⑵因為“拐角”上的數要“加三次”(即橫列、縱列和對角線，所以，“1”和“9”這兩個最小和最大的數不能填在“拐角”上，可以随意填在某一邊的中間(如圖)。

⑶因為“1”是這九個數中最小的數，所以與它相”連”的數應填“8”。

這幾個關鍵的數填好之後，其餘各數就非常好填。同學們你不妨試一試，而且應當換位置多試幾次。多試填幾次，可以填很多種，不僅好玩而且有益。

難題點撥②

把1～7這七個數分别填入下圖各圓圈内，使三條線段上的三個數的和相等(如圖)。

解題分析：根據題意，我們在計算圖中三條線段上的各數之和時，正中心的那個數被用上了3次，即被多加了2次。若正中心這個數填的是“A”，那麼“1 2 3 4 5 6 7 2A”一定能被3整除(三條線段上的各數和相等)。因為(1 2 3 4 5 6 7)的和除以3的餘數是1，所以“2A”除以3就應餘2。

由“2A被3除，餘2”，可知，A應當為1、4或7。

當中心數填“1”時，各條線段上的數字和為:(1 2 3 4 5 6 7 1x2)÷3＝10；

當中心數填“4”時，各條線段上的數字和為:(1 2 3 4 5 6 7 4x2)÷3＝12;

當中心數填上“7”時各條線段上的數字和為:(1 2 3 4 5 6 7 7x2)÷3＝14。

推算出了中心數及相應的各線段上的數字和，再來填“數陣圖”就非常容易了，而且每種的填法都有好多種，現各選一種填法如下圖：

難題點撥③

把1～9填入圖中的圓圈裡，使它每條邊上的四個數的和都等于20(又知某角上已經填了“8”)。

解題分析：在計算三邊之和的時候，三個角上的數都被用了2次，即分别多用了一次。題這九個數的和是20，總和則是60，而1～9這九個數的和是(1 9)×9÷2＝45，由此可知，三個角上的數字和為60-45＝15。已知一個角上的數字是“8”，另外兩個角上所填數字之和一定是“7”。

和為“7”的兩個數的取值情況有：1和6；2和5；3和4。

經過以上分析，再來填圖也不會太困難了。下面圖中就是其中的兩個基本的填法：

難題點撥④

把1～9九個數填入圖中的各圓圈内，使每個角到中心的三個數的和相等，并且使兩個正方形四個頂點上的數的和也都相等。

解題分析：這個數陣圖既有輻射型的要求，又有封閉型的要求，因此，我們在分析時應當分兩步來思考。

⑴先按輻射型來分析：中心數被多加了三次。1～9各數的和是45，加中心數重複計算之和應能被“4”整除(向周圍四個角輻射)，因此，中心的那個數隻能填1、5或9。由此便得到三種基本的填法如下圖：

⑵再按封閉型分析：它們分别去掉中心數後，外邊兩個正方形的四個數的和應分别為：

(45-1)÷2=22

(45-5)÷2=20

(45-9)÷2=18

最後隻要根據這些算出來的“和”，将内外兩個正方形中的個别數字稍加調整，就可以了(見下面圖中三種填法)。

難題點撥⑤

請在下圖空格中填上适當的數字，使每一橫行，每一豎行，每一斜行的三數之和相同。

解題分析：通過觀察可以發現，該題沒給定數字的和，也無法求出和，我們來分析下本題，用一些小動物來代替方格中的數字，我們先從數字最多的行入手，即:

斜行52 78 牛＝牛 灰狼 130，等号兩邊都出現了牛，可以将兩邊的牛都去掉，即:52 78＝130 灰狼，則灰狼＝52 78-130，現在大灰狼可以走了。

同理:130 78 山羊＝山羊 52 熊，則同理求出熊＝130 78-52＝156，現在熊也可以走了。

求出熊和灰狼後，就可得出每橫行、每豎行、每斜行的和為156 78 0＝234，現在我們可以依次把白兔、牛、山羊、猴子求出來。

通過以上幾個例題的分析，我們發現：解數陣圖的突破口是尋找“中心”或“拐角”上的那些“重疊數”，根據它們的重複次數，同時抓住“餘數”進行讨論，從而确定“重疊”的取值範圍。若它們的取值比較多，就通過“試填”來篩選。

這節課我們就講這麼多内容，希望本節課的内容同學們都可以學會。我是小梁老師，我們下節課見！

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