拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem，提出時間1797年）又稱拉氏定理，又稱微分中值定理，是微分學中的基本定理之一。

它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間内某點的局部變化率的關系。

拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學應用的橋梁，在理論和實際中具有極高的研究價值。

一、拉格朗日中值定理的概念和幾何意義

2、幾何意義：

在滿足定理條件的曲線上y=f(x)至少存在一點C1（ξ1，f(ξ1)），該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端的連線AB（如圖）

二、拉格朗日中值定理的應用

1、為什麼要用拉格朗日中值定理去解決高考數學問題？

近年來，以高等數學為背景的高考命題成為熱點。也就是說，在當前的高考數學試題中，有一些省份或者有一些試題，裡面含有了高等數學（大學數學）的成分。這些題目雖然可以利用中學的數學知識解決，但是往往比較繁瑣，同時還容易出現證明不下去的尴尬局面。

在這個時候，如果我們提前知道了一些高等數學（大學數學）的相關知識，那麼在解題的過程中，相對來說，就簡單很多。因為這些高考試題本身就帶有高等數學的相關“影子”，同時高等數學的一些知識點，應用到高考題目中，一般隻應用一些比較簡單的部分，所以此時用高等數學的知識去解決高考壓軸大題，就變得簡單了。

2、拉格朗日定理具體用來解決哪些類型的數學題目？

一般來說，用來解決高考試題中的函數題、導數題和不等式證明題、恒成立問題、參數範圍題等。

三、和拉格朗日定理有關的題目案例分析

【1】直接應用拉格朗日中值定理來解題

例2、填空題選擇題中，使用拉格朗日中值定理能夠快速解題

【2】求割線斜率大小----幾何意義的利用

由拉格朗日中值幾何意義可知:曲線上兩點的割線斜率，可以轉化為曲線上切線的斜率。即連續函數上任意兩點的連線總與某條切線平行。

評析：該題若用初等方法解決，構造函數同是本題的難點和突破口．

【3】 利用拉格朗日中值定理證明函數的最值、參數範圍

（1）此時需要證明的函數表達形式如下：

例1：（2009年遼甯卷理21題）

例4、在恒成立條件下，求解參數的範圍。

“拉格朗日中值定理”蘊含着“消元”思想，把二 重變量的問題巧妙地轉化為一元變量問題，這種 “減元增效”的思想貫穿數學發展的始終，也是我們在解題中需要堅持的思想。

例5、

例6、

抓住題目所給的條件、結論和結構，通過聯想、 類比和構造，把複雜的問題向熟悉的問題轉化的解 題方法稱為“構造法”，運用“構造法”解題是創造性 思維的重要體現，通過構造可以建立各個數學知識 之間的聯系和相互轉化,可以讓學生掌握定義、定理的不同表現形式,提高解題能力。

【4】利用拉格朗日中值定理證不等式

在近幾年的數學高考中，出現了不少含有拉格朗日中值定理的試題．常以不等式恒成立問題為基本切入點，具有一定的深度，既符合高考命題“能力立意”的宗旨，又突出了數學的學科特點，較好地甄别了學生的數學能力． 下面以近幾年全國各地的數學高考試題為例，說明拉格朗日中值定理的不同形式在高考中不等式的應用，更好地體會用“高等數學”知識解題的優勢．

用拉格朗日中值定理證明不等式的步驟：

具體案例如下所以：

評注：這道題用初等數學的方法證明較為冗長，而且技巧性較強.因而思路較為突兀，大多數考生往往難以想到.相比之下，用拉格朗日中值定理證明，思路較為自然、流暢.體現了高觀點解題的優越性，說明了學習高等數學的重要性.

例3：(2006年四川卷理第22題)

例4、用拉格朗日定理證明經典不等式

例5、

例6、

例7、

例8、

【5】利用拉格朗日定理證明根的存在

證明方程根的存在性,所給根的範圍就是區間[a,b],把所給方程設為函數f(x)就可用拉格朗日中值定理證明方程根的存在性,一般用反證法.

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