經緯線

關于用算術方法研究圖形的曆史可以追溯到古埃及，古巴比倫以及古代中國。因為日常生活和生産實踐的需要，人們從土地測量開始，後來又發明了面積，體積的計算方法，發明了研究三角形邊角關系的有力工具三角函數。特别是在這個過程中，人們研究了兩個重要的問題，這對後來坐标系的建立起到了至關重要的作用：一個是發明了地球表面上和空間星座中的經緯線，用經緯線來确定點的位置，另一個是研究了平面上滿足某些條件的點的運動軌迹。

古巴比倫人和古代中國人都利用了數字12發明了被稱為黃道的坐标系，用來确定夜空中星座的位置。在地球表面，據說是亞裡士多德第一個發明了确定位置的辦法，他發現越接近赤道越熱，越靠近北極越冷，于是他建議在地球上按南北方位劃分五個氣候區域，并稱這樣劃分的線為緯線。後來，在亞曆山大圖書館從事研究的托勒密在他的8卷本的《地理學》中提出，繪制地圖不僅需要維度也需要經度，為了把地球的位置平面化，他設計了扇形的經緯線，繪制出著名的“托勒密地圖”，雖然這個地圖并不實用。

阿波羅尼奧斯

談到運動軌迹的研究，就必然要涉及古希臘學者關于圓錐曲線的研究。據說，古希臘學者熱衷于研究圓錐曲線是與倍立方問題有關，或者與日晷有關，日晷是古代的一種利用日影定時的儀器。圓錐曲線研究的集大成者是亞曆山大圖書館的學者阿波羅尼奧斯（約公元前262-約前190），他的巨著《圓錐曲線論》對後世産生了很大的影響，并啟發笛卡爾發明了直角坐标系。這部巨著共分8卷，含487個命題，前4卷是基礎部分，後四卷是拓展，但最後一卷遺失了。《圓錐曲線論》這部書的思想非常深刻，但因為沒有更多地使用數學符号和公式，特别是沒有給出用于直觀解釋的圖形，使人難以理解，現在書中的圖形大多是後人根據書中的闡述補加的。

與歐幾裡得的《原理》一樣，《圓錐曲線論》開宗明義給出了書中要讨論對象的定義，但阿波羅尼奧斯遠沒有歐幾裡得表達得清晰。關于圓錐的定義，參見圖（1）

圖（1）直圓錐

我們歸納如下：

對于給定圓心為O的圓，及圓所在平面外的一點A，連接點A與圓周上任意一點B，并向兩端延長得到一條直線，稱這條直線為母線。以固定點A為軸心，令母線沿圓周轉動一圈回到點B，則母線的運動軌迹就得到兩個曲面，稱之為圓錐曲面。稱A為圓錐的頂點，給定的圓為圓錐的底；如果AO垂直于底，稱這個圓錐為直圓錐，否則稱為斜圓錐。

如果用一個平面去截這個圓錐，因為平面與母線之間的夾角不同在圓錐曲線上可能截出不同的曲線，但就類型而言，可以得到三種曲線，統稱為圓錐曲線。如果平面隻與兩個曲面的一個相交，那麼分兩種情況：平面與曲面截出一條開放曲線，即平面與母線都相交，則稱這條曲線為抛物線。如果平面與兩個曲面都相交，那麼，平面與曲面截出兩條對稱的開放曲線，則稱這兩條曲線為雙曲線。這三種圓錐曲線的名字都是阿波羅尼奧斯給出的，沿用至今。其中，橢圓英文為ellipse，源于希臘語ελλετΨҫ，意為“不足”“缺乏”，可以直譯為“虧曲線”；雙曲線英文為hyperbola，源于希臘語νπερβоλη，意為“優越”“超越”，亞裡士多德曾經用過這個詞，指天體與地平線的角距，在這裡可以直譯為“盈曲線”；抛物線英文為parabola，源于希臘語παραβоλη，意為“并列”“相對照”柏拉圖曾經用過這個詞，指兩個天體處同一經線，在這裡可以直譯為“齊曲線”。

圓錐曲線論

阿波羅尼奧斯給出了這三種圓錐曲線的方程，我們知道，要把曲線的方程闡述清楚就必須利用坐标。下面以橢圓為例進行說明，這是在《圓錐曲線論》第1卷中命題13所讨論的，我們用現代語言和符号來闡述。設橢圓曲線上點的橫坐标和縱坐标分别為x和y（書中沒有明确給出坐标的定義，但已經明确地利用了坐标地思想），利用平行線和相似三角形地性質，可以得到下面的方程

y²=px-px²/2a (1)

其中，p為焦距，a為橢圓長軸的一半。阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》第3卷中又專門讨論了橢圓和雙曲線焦點的性質，得知p=2b²/a，其中b為橢圓短軸的一半。代入（1）式可以得到

y²/b²=2x/a-x²/a² (2)

注意到，阿波羅尼奧斯得到上述結論，是把坐标的原點設定在橢圓的長軸的一端，如果把坐标原點設定在長軸的中心，即把x變為x a，則（2）式為

y²/b²=2(x a)/a-(x a)²/a²

整理以後就可以得到現代數學教科書中橢圓的标準方程

x²/a² y²/b²=1

阿波羅尼奧斯得到的雙曲線方程和抛物線方程分别為

y²=px px²/2a (3)

和

y²=px (4)

利用上面處理橢圓方程的方法，可以類似地得到現代意義上的雙曲線和抛物線的标準方程。我們把（1）式和（3）式分别與（4）式比較，就可以知道阿波羅尼奧斯為什麼把橢圓曲線叫做虧曲線，把雙曲線叫做盈曲線，把抛物線叫做齊曲線。

下面，我們進一步讨論橢圓曲線。在現代的教科書中關于橢圓的定義為：

平面上，到兩個點的距離之和為一個常數的動點的軌迹。

這個定義是1579年，由意大利數學家蒙地（1545-1607）給出的，事實上，阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中已經證明了這個結果。

比利時數學家丹德林（1794-1847）利用兩個球給出了上述命題的一個非常直觀的證明，後來人們稱其為丹德林球。如圖（2）所示

圖（2） 橢圓定義的直觀解釋

在一個正圓錐中先放入一個小球，設這個小球與圓錐面相切得到的圓為ω；然後斜放入一個平面，設這個平面與圓錐面相交得到的曲線為α,同時，與小球的切點為O；最後放入一個大球，設這個大球與圓錐面相切得到的圓為ω’，與斜平面的切點為O’。很顯然，圓ω所在平面與圓ω’所在平面是平行的。在曲線α上任取一點C，因為球外一點到球的切線均相等，因此CA=CO,CB=CO’，即點C到兩個切點O和O’的距離之和總為一個常數，因此曲線α為一個橢圓，O和O’為焦點。

在上面的讨論中我們已經看到了解析幾何的影子，但真正引發笛卡爾開始思考坐标系的是所謂“3條或4條直線的軌迹”的問題，阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》的第3卷的後半部分專門讨論了這個問題，問題可以描述如下：

“在平面上給定三條直線，令一動點到其中一條直線距離的平方，與到另外兩條直線距離的積成正比，求這個動點的軌迹”

如果給定的是四條直線，那麼，把到一條直線距離的平方改為到兩條直線距離的積。阿波羅尼奧斯用幾何的方法研究了這個問題，證明了這個動點的軌迹是圓錐曲線，并為自己能得到這個結論而感到驕傲，他的那本名著的序言中說：

“第3卷包含許多......令人不可思議的和最完美的定理，其中絕大部分都是新的，而且當我們掌握這些時便知道，歐幾裡得未曾作出的三線和四線軌迹，隻有它的偶然的部分才被不很愉快地解出，因為沒有我們所發現地事實它們就不可能被圓滿解出”

幾百年後，亞曆山大圖書館晚期地數學家帕斯（約300-350）把這個問題推廣到四條以上直線和任意給定角，後來人們稱這樣的問題為帕斯問題。笛卡爾對帕斯問題很感興趣，正是在解決這個問題的過程中笛卡爾萌發了建立坐标系的構想，最終發明了解析幾何。

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