在數學的發展史上，大大小小的矛盾出現過很多，但很少能威脅到整個數學基礎理論，甚至引起危機。即便是千百年來人們對歐幾裡得幾何公理第五公設的疑惑，也不曾造成數學上的危機，且最終成就了羅巴切夫斯基幾何和黎曼幾何。數學史上共出現三次數學危機，每次都是由于悖論的發現而深刻和廣泛的影響了數學基礎，引發了數學上的思想解放，從而推動了數學的發展。

三次數學危機涉及到連續性與離散性以及無窮等數學上的一些根本性問題。

1.1 出現

畢達哥拉斯認為“一切數均可表示成整數或整數之比”，也就是說，一切數均可用有理數表示。

希帕索斯（Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即2的2次方根）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示。

芝諾悖論也挑戰了畢達哥拉斯學派所一直貫徹的度量和計算方式。

不可公度性的發現和芝諾悖論引起了希臘數學的危機。

1.2 影響

1.2.1 由于古希臘人不能掌握無理數概念，限制了算術和代數，使得數學研究轉向幾何（用幾何的方法來處理不可公度比）。

1.2.2 古希臘人在解決危機的過程中，把數和量區分開來，分而治之的策略使得算術、代數的發展受到極大的限制，而幾何學卻得到充分發展。

1.2.3 經過數學危機的洗禮，古希臘人認識到：直覺、經驗是不可靠的，推理論證才是可靠的。這種轉變導緻了公理幾何學與邏輯學的誕生。

1.3 解決

德國數學家戴德金（Dedekind，1831-1916）在實數和連續性理論方面，他提出“戴德金分割”，給出了無理數及連續性的純算術的定義。

“戴德金分割”認為，所有可能的分割構成了數軸上的每一個點，既有有理數，又有無理數，統稱實數。

約在公元前370年，柏拉圖的學生攸多克薩斯(Eudoxus，約公元前408—前355)純粹用公理化方法創立了新的比例理論，微妙地處理了可公度和不可公度。 他處理不可公度的辦法，被歐幾裡得《 幾何原本 》第二卷（比例論）收錄。并且和狄德金于1872年繪出的無理數的現代解釋基本一緻。

在幾何學中引進不可通約量概念，兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。

很顯然，隻要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不複存在了。

2.1 出現

十七世紀牛頓、萊布尼茲分别獨立創立了微積分理論，兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的（在無窮小是0還是非0的問題上糾纏不清）。

英國大主教貝克萊，他提出了一個悖論：

2.2 解決

法國數學家柯西（1789-1857）用極限的方法定義了無窮小量。

無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量。

德國數學家魏爾斯特拉斯(Weierstrass，1815-1897)建立了實數系，創建了精确的ε-δ語言（用來精确描述極限）。

建立數學分析（或者說微積分）的基礎的“邏輯順序”應該是：實數理論→極限理論→微積分。

而“曆史順序”正相反。

3.1 出現

到19世紀，數學從各方面走向成熟。

非歐幾何的出現使幾何理論更加擴展和完善；

實數理論（和極限理論）的出現使微積分有了牢靠的基礎；

群的理論、算術公理的出現使算術、代數的邏輯基礎更為明晰，等等。

人們水到渠成地思索：整個數學的基礎在哪裡？

正在這時，19世紀末，集合論出現了。康托爾創立了著名的集合論（集合三個特點：确定性、互異性、無序性）。

人們感覺到集合論有可能成為整個數學的基礎。其理由是：

算術以整數、分數等為對象，微積分以變數、函數為對象，幾何以點、線、面及其組成的圖形為對象。

同時，用集合論的語言，算術的對象可說成是“以整數、分數等組成的集合”；微積分的對象可說成是“以函數等組成的集合”。

幾何的對象可以說成是“以點、線、面等組成的集合”。這樣一來，都是以集合為對象了，集合成為了更基礎的概念。

因而集合論成為現代數學的基石。

1903年，英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。

羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的元素所組成。然後羅素問：S是否屬于S呢？

羅素悖論曾被以多種形式通俗化。其中最著名的是羅素于1919年給出的，它涉及到某村理發師的困境。

理發師宣布了這樣一條原則：他給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且，隻給村裡這樣的人刮臉。

當人們試圖回答下列疑問時，就認識到了這種情況的悖論性質："理發師是否自己給自己刮臉？"如果他不給自己刮臉，那麼他按原則就該為自己刮臉；如果他給自己刮臉，那麼他就不符合他的原則。

由于嚴格的極限理論的建立，數學上的第一次第二次危機已經解決，但極限理論是以實數理論為基礎的，而實數理論又是以集合論為基礎的，現在集合論又出現了羅素悖論，因而形成了數學史上更大的危機。

承認無窮集合，承認無窮基數，就好像一切災難都出來了，這就是第三次數學危機的實質。

3.2 解決

為擺脫這一空前的危機，數學家主要考慮了兩條路徑：一是抛棄整個集合論，把數學建立在新的理論基礎之上；另一條途徑是改造康托爾的集合理論，引進新的理論體系。

經過探索，數學們選擇了改造康托爾的集合理論。

這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎之上的（沒有明确對于已知集合，哪些操作是合法的），這就留下了解決問題的餘地。

通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的内容得以保存下來。”

羅素等人分析後認為，這些悖論的共同特征（悖論的實質）是“自我指謂”。即，一個待定義的概念，用了包含該概念在内的一些概念來定義，造成惡性循環。例如，悖論中定義“不屬于自身的集合”時，涉及到“自身”這個待定義的對象。為了消除悖論，數學家們要将康托“樸素的集合論”加以公理化；并且規定構造集合的原則，例如，不允許出現“所有集合的集合”、“一切屬于自身的集合”這樣的集合。

1908年策梅洛(Zermelo)提出了比較完整的公理，這些公理指明了對集合的哪些操作是合法的。後經過弗蘭克爾（Fraenkel）的完善和補充，形成了ZF公理系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。

除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。

20世紀的偉大數學家哥德爾證明了哥德爾不完備性定理，該定理無論是在數學史上，還是在邏輯學發展史上都是一個裡程碑。

哥德爾不完備性定理的内容是：包括算術在内的任何一個協調公理系統都是不完備的。

具體地講，包括算術在内的任何一個形式系統L，如果L是協調的，那麼在L内總存在不能判定的邏輯命題，即L中存在邏輯公式A與非A，在L内不能證明它們的真假。

哥德爾定理的意義在于，包括數學在内的任何一個科學體系都不能用一個完備的系統概括起來。

盡管悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的确定性卻在一步一步地喪失。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續着。

第一次數學危機的要害是不認識無理數，而無理數是無限不循環小數，它可以看成是無窮個有理數組成的數列的極限。所以，第一次數學危機的徹底解決，是在危機産生二千年後的19世紀，建立了極限理論和實數理論之後。實際上，它差不多是與第二次數學危機同時，才被徹底解決的。

第二次數學危機的要害，是極限理論的邏輯基礎不完善，而極限正是“有窮過渡到無窮”的重要手段。貝克萊的責難，也集中在“無窮小量”上。由于無窮與有窮有本質的區别，所以，極限的嚴格定義，極限的存在性，無窮級數的收斂性，這樣一些理論問題就顯得特别重要。

第三次數學危機的要害，是“所有不屬于自身的集合”這樣界定集合的說法有毛病。而且這裡可能涉及到無窮多個集合，人們犯了“自我指謂”、惡性循環的錯誤。

以上事實告訴我們，由于人們習慣于有窮，習慣于有窮情況下的思維，所以一旦遇到無窮時，要格外地小心；而髙等數學則是經常與無窮打交道的。

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