小學六年級我們就學習了圓錐的體積公式，大家都知道圓錐的體積是等底等高圓柱體積的1/3。那為什麼等于圓柱體積的1/3呢？幾乎所有版本的小學數學教材都是利用演示的方法來說明的。即老師拿着透明的等底等高的圓柱和圓錐，圓錐盛水（或沙子），裝滿往圓柱倒三次，圓柱滿了，就說明兩者體積有3倍關系。

　　當然教材這樣編排的目的是基于小學生的學科認知基礎來處理的，但在實際教學中，你會發現，越來越多的孩子并不滿足這種解釋的，他們總會打破砂鍋問到底，而這個問題的解釋包含了樸素的微積分思想和祖暅原理。作為教師來說，我們有必要給孩子進行一個數學科普，讓他們懂得其中的原理，這無疑會培養孩子們進一步學習和研究數學的熱情。

　　一、先談談圓的面積推導

　　推導圓的面積時，我們把圓等分成若幹個“圓三角形”，再拼成一個近似的平行四邊形。分成的小三角形越多，拼成的圖形越接近矩形。再對比兩者的關系，利用長方形的面積公式推導出圓的面積公式，這就是“化曲為直”的思想，而切拼的過程其實是利用微積分的思想。

　　圓的面積=圓周長的一半×半徑=πr×r=πr²（如圖所示）

　　二、再說說圓錐體積公式的由來

　　那麼圓錐的體積為何和圓的面積扯上關系了，這裡主要用到的是圓面積推導的方法“化曲為直”來解釋的。還是一樣的道理，首先把等底等高的圓柱和圓錐如圖細分，分得足夠細，化曲為直，于是分出的每一小片就是一個三棱柱和對應的三棱錐。

　　接下來我們要研究的就是等底等高的三棱柱和三棱錐之間的關系了。

　　這裡先說一個結論，就是等底等高的三棱錐體積相等，這需要先來說一個原理，祖暅原理。

　　祖暅（ɡènɡ），亦名祖暅之，是我國著名數學家祖沖之（公元429—500）的兒子，他的活動時期大約在公元504—526年。是南朝齊梁間數學家，曾任太府卿。祖氏父子在數學和天文學上都有傑出貢獻。

　　祖暅在修補編輯祖沖之的《綴術》時，提出了著名的祖暅原理，并巧妙地推導出球體積公式。

　　祖暅原理也稱祖式原理，一個涉及幾何求積的著名命題，公元656年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的開立圓術，祖暅在求球體積時，使用的一個原理：“幂勢既同，則積不容異”。

　　祖暅原理：“夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那麼這兩個幾何體的體積相等。”

　　如下圖：完全相同且數目一樣的兩堆書疊成兩摞，一摞豎直疊，一摞斜着疊，（分别對應一個直棱柱和一個斜棱柱）用平行于底面的截面截這兩個棱柱，截得的截面面積是處處相等的，而它們的體積顯然是相等的，這是祖暅原理的直觀體現。

　　由祖暅原理知底面積相等的如下三個柱體的體積都相等：

　　所以下圖中，等底等高的兩個三棱錐，由于相似關系，同一高度的截面積相等，于是由祖暅原理可知，等底等高的兩個三棱錐，體積相等。

　　不過錐體（棱錐、圓錐及不規則錐體）的體積，卻不能直接按上述方法定義。我們可以回想小學時推導三角形的面積公式：兩個相同的三角形可以拼成一個平行四邊形，從而三角形的面積是：

　　我們可以效仿這種思維，不難證明：三棱錐的體積等于等底等高三棱柱體積的1/3，如下圖：

　　三棱柱ABC－A'B'C'的底面積（即△ABC的面積）為s,高（即點A'到平面ABC的距離）為h，則它的體積為sh，沿平面A'BC和平面A'B'C，将這個三棱柱分割為3個三棱錐，其中三棱錐1，2的底面積相等（S△A'AB=S△A'B'B），高也相等（點C到平面ABB'A'的距離）；三棱錐2，3也有相等的底面積（S△B'BC=S△B'C'C）和相等的高（點A'到平面BCC'B'的距離）。因此，這三個三棱錐的體積相等，每個三錐的體積等于等底等高三棱柱體積的1/3。

　　這樣進一步推廣，不光是棱錐體，圓錐也一樣。隻要是錐體，等底等高的錐體體積都相等。這樣很容易由等積關系看出，所有錐體的體積都等于與它等底等高柱體體積的1/3。

　　最後，回到最初圓柱圓錐的分割圖上，由于圓柱分割成許多近似的小三棱柱，圓錐分割成對應的許多小三棱錐，每一小塊小三棱錐的體積都是對應小三棱柱體積的三分之一，因此最終的圓錐體積是等底等高的圓柱體積的三分之一。這個中學生可以完全理解，小學生理解力好的其實也能理解。

　　好了，最後希望這些内容可以幫助我們的孩子提高數學學習的興趣和熱情，更多的數學問題，大家可以在下方留言，我們一起來研究吧！

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