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線性代數行列式本章小結

圖文更新时间:2024-08-10 15:09:13

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）1

一般說來，低階行列式的計算比高階行列式的計算要簡便，于是，我們自然地考慮到利用低階行列式來表示高階行列式的問題，為此，先引進餘子式和代數餘子式的概念。

在n階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去後，留下來的階行列式叫做元素的餘子式，記作；記，叫做元素的代數餘子式。

例如四階行列式

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）2

中的元素的餘子式和代數餘子式分别為

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）3

引理一個n階行列式，如果其中第行所有元素除外都為零，那麼這行列式等于與它的代數餘子式的乘積，即。

證先證位于第1行第1列的情形，此時

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）4

這種情形，明顯有，

又，從而。

再證一般情形，此時

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）5

将第在行與第1行對調，調換次數為;再将第與第1列對調，調換次數為。經過調換，将調到左上角，所得的行列式，而元素在中的餘子式仍然是在中的餘子式。

由于位于的左上角，利用前面的結果，有，于是

。

定理行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數餘子式乘積之和，即

或

證

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）6

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）7

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）8

根據引理，即得：

類似地，若按列證明，可得證畢。

這個定理叫做行列式按行（列）展開法則。利用這一法則并結合行列式的性質，可以簡單化行列式的計算。

例

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）9

保留，把第3行其餘元素變為0，然後按第3行展開：

線性代數行列式本章小結（線性代數知識點摘抄）10

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